Los números adyacentes son siempre coprimos. Piénselo de esta manera: si tiene un múltiplo de dos, debe agregar dos más antes de obtener otro múltiplo de dos. Si tiene un múltiplo de tres, debe agregar tres más para obtener un múltiplo de tres. Cada vez que tratamos con números primos, pretendemos que 1 no existe (en realidad no, pero hay muchos casos en los que se ignora porque rompe todas las reglas). Entonces, si tiene un múltiplo de n y agrega 1, aún no ha agregado lo suficiente para obtener otro múltiplo de n. Debe agregar al menos n, yn es al menos 2. Entonces, dos números adyacentes nunca se molestarán en ser múltiplos de un número mayor que 1.
Hay exactamente dos funciones (trabajar con números naturales) que producen números adyacentes a n:
[matemáticas] m = n + 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] m = n – 1 [/ matemáticas]
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Lo sé, esto es algo complicado 🙂
Con estos, podemos construir fácilmente otras funciones que hacen lo mismo.
[matemáticas] p = kn \ text {donde} k \ in \ N [/ matemáticas]
Producirá un número, [math] p [/ math], con todos los mismos factores de [math] n [/ math]. Por lo tanto, algo que es coprime para [math] p [/ math] debe ser coprime para [math] n [/ math] (pero lo contrario no siempre es cierto), por lo que podemos ampliar nuestro repertorio de generadores coprime para:
[matemáticas] m = kn \ pm 1 \ text {donde} k \ in \ N [/ math]
Por supuesto, multiplicar [math] n [/ math] por alguna constante no es la única forma de generar un nuevo número con todos sus factores. De manera más general, podemos usar:
[matemáticas] m = nf (n) \ pm 1 \ text {donde} f (n) \ in \ N [/ math]
Tenga en cuenta que este grupo de funciones no es la única forma de generar coprimos de [math] n [/ math]. Otro ejemplo sería algo como:
[matemáticas] \ displaystyle m (n) = \ begin {cases} m \ left (\ dfrac {n} {3} \ right) & n \ equiv 0 \ pmod 3 \\ n + 3 & n \ not \ equiv 0 \ pmod 3 \ end {cases} [/ math]
Lo cual, en inglés simple, simplemente divide todos los 3 de [math] n [/ math] para que los dos números no compartan 3 como factor y luego agrega 3 para eliminar cualquier otro factor que puedan tener en común .