¿Cómo evaluaría [math] \ lim_ \ limits {x \ rightarrow 2} \ frac {\ sqrt {6 – x} – 2} {\ sqrt {3 – x} – 1} [/ math]?

Answer 1

Sin la regla de L’Hopital, debes ser un poco más complicado, aunque todavía hay una solución muy elemental que no hace uso de la diferenciación. Tenga en cuenta que

[matemáticas] \ lim_ {x \ a 2} \ frac {\ sqrt {6-x} +2} {\ sqrt {3-x} +1} = 2, [/ matemáticas]

y

[matemáticas] \ lim_ {x \ a 2} \ frac {\ sqrt {6-x} -2} {\ sqrt {3-x} -1} \ cdot \ frac {\ sqrt {6-x} +2} {\ sqrt {3-x} +1} [/ math]
[matemáticas] = \ lim_ {x \ a 2} \ frac {2-x} {2-x} [/ matemáticas]
[matemáticas] = 1. [/ matemáticas]

Pero entonces

[matemáticas] \ lim_ {x \ a 2} \ frac {\ sqrt {6-x} -2} {\ sqrt {3-x} -1} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ lim_ {x \ a 2} \ frac {\ frac {\ sqrt {6-x} -2} {\ sqrt {3-x} -1} \ cdot \ frac {\ sqrt {6-x } +2} {\ sqrt {3-x} +1}} {\ frac {\ sqrt {6-x} +2} {\ sqrt {3-x} +1}} [/ math]
[matemáticas] = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

por la regla del cociente para límites.

Answer 2

Forma más fácil: sustituya [math] a = \ sqrt {3-x} [/ math] para obtener

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {a \ rightarrow 1} \ frac {\ sqrt {a ^ 2 + 3} -2} {a-1} = \ lim_ {a \ rightarrow 1} \ frac {a ^ 2 + 3 -4} {a-1} \ frac {1} {\ sqrt {a ^ 2 + 3} +2} [/ math]

[matemáticas] = \ lim_ {a \ rightarrow 1} \ frac {a + 1} {\ sqrt {a ^ 2 + 3} +2} = \ frac 12
[/matemáticas]

Ah, y agrega el 2011 en todas partes 🙂

Answer 3

Deje [math] f = \ sqrt {6 – x} [/ math] y [math] g = \ sqrt {3 – x} [/ math]. El límite que está calculando es [math] \ frac {df} {dg} [/ math] en [math] x = 2 [/ math]. Tenga en cuenta que [matemáticas] f ^ 2 = g ^ 2 + 3 [/ matemáticas]; así, por diferenciación implícita, [matemática] \ frac {df} {dg} = \ frac {2g} {2f} = \ frac {g} {f} [/ math]. Cuando [math] x = 2 [/ math], esto es [math] \ frac {1} {2} [/ math].