¿Cuáles son algunos usos interesantes y menos conocidos (para un novato en matemáticas) de la fórmula cuadrática?

Answer 1

Aquí hay uno rápido. Supongamos que tengo dos números reales, ¿qué se puede decir acerca de su suma [matemática] S [/ matemática] y su producto [matemática] P [/ matemática]?

Bueno, nuestros dos números serán las raíces de la cuadrática [matemáticas] x ^ 2-Sx + P = 0 [/ matemáticas]. Usando la fórmula cuadrática, dado que las raíces son reales, [matemática] b ^ 2-4ac \ geq 0 [/ matemática], en otras palabras, [matemática] S ^ 2 \ geq 4P [/ matemática], con igualdad solo si el Dos números originales son iguales.

Supongamos ahora que nuestros dos números originales son positivos, entonces podemos tomar raíces cuadradas y encontrar [matemáticas] S / 2 \ geq \ sqrt {P} [/ matemáticas], que es la desigualdad media aritmética-geométrica. Esa es una forma bastante rápida de demostrar esa desigualdad por dos términos; con un poco de generalización, puede llegar mucho más lejos con esto. Por ejemplo, puede usar el mismo método (construir una cuadrática, luego discutir si tiene raíces reales o no) para probar la desigualdad de Cauchy-Schwarz en el espacio euclidiano.

Answer 2

El siguiente es el uso más interesante de la fórmula cuadrática con diferencia. Pregunta: un hombre quiere otorgar un regalo a algunos niños de su familia. ¿Dará el regalo a sus hijos por matrimonio con su esposa, o dará el regalo a los hijos de su hermana?

Esta no es una pregunta capciosa. Por favor, resuelva la ecuación cuadrática relevante.

Supongamos una teoría darwinista de la motivación, y digamos que el hombre dará el regalo a los niños con más sangre relacionada con él.

¿Qué tan relacionados están sus hijos por matrimonio? Tienen el 50% de sus genes y el 50% de los genes de su esposa. Supongamos que el hombre no tiene sangre relacionada con su esposa. Entonces estos niños están 1/2 relacionados con el hombre si su esposa ha sido fiel. Las esposas son fieles a sus esposos en una sociedad dada con cierta probabilidad P. Entonces, los hijos están relacionados por P / 2.

Ahora, ¿qué pasa con los hijos de la hermana del hombre? Están 50% relacionados con su madre, no hay probabilidad de error aquí, y la hermana está 50% * 50% relacionada con el hombre a través de su madre común, y también P ^ 2/4 a través de su padre, con la misma probabilidad de fidelidad P asumido en esa sociedad.

Entonces, si P / 2 <(1/4 + P ^ 2/4) / 2 el presente es para los hijos de la hermana.
Resuelva P ^ 2-4P + 1 = 0. Solo la respuesta que es 0 <= P <= 1 tiene sentido.

El presente va a los hijos por matrimonio en sociedades en las que la probabilidad de que una esposa sea fiel es superior al 27%, a menos que haya cometido un error estúpido, que también es probable en la mayoría de las sociedades.

Answer 3

(Cortesía de Razvan Gelca:

Digamos que queremos resolver la ecuación cúbica [matemática] x ^ 3-26x-5 = 0 [/ matemática].

Puedes hacer esto con la horrible fórmula cúbica, o adivinar raíces, etc. Pero también puede reorganizar la ecuación para obtener:

[matemáticas] -x (5) ^ 2-5 + (x ^ 3-x) = 0 [/ matemáticas]

Esta es una ecuación cuadrática en la variable 5.

Usando la fórmula cuadrática,
[matemáticas] 5 = \ frac {1 \ pm \ sqrt {1-4 (-x) (x ^ 3-x)}} {- 2x} [/ matemáticas]

Simplificando,
[matemáticas] 5 = \ frac {1 \ pm \ sqrt {(2x ^ 2-1) ^ 2}} {- 2x} [/ matemáticas]
[matemáticas] -10x-1 = \ pm \ sqrt {(2x ^ 2-1) ^ 2} [/ matemáticas]

Finalmente, esto se convierte
[matemáticas] -10x-1 = \ pm (2x ^ 2-1) [/ matemáticas]

¡Lo que puedes resolver usando la fórmula cuadrática nuevamente!

Answer 4

Calcular cómo liderar un objetivo en un juego de FPS. Están muy lejos y / o se mueven rápidamente, por lo que debes disparar donde estarán , no donde están. Puede hacer esto usando trigonometría, pero lo estaba haciendo en un entorno de programación y estaba tratando de evitar las funciones trigonométricas inversas. Después de muchos comienzos falsos, lo resolví con álgebra vectorial y terminé con esta belleza:

¿Cuál es la fórmula cuadrática con
a = | Vt | ^ 2 – | Vb | ^ 2
b = 2 (D · Vt)
c = | D | ^ 2

Dónde,
Vt es la velocidad objetivo (dirección y velocidad)
| Vb | es la velocidad de la bala
D es la dirección y la distancia desde usted hasta el objetivo

El resultado, n , es el tiempo que necesita para liderar el objetivo. IE “Dispara n segundos por delante”. La distancia que necesita para llevar al objetivo es entonces n * Vt .

Answer 5

Es un poco exagerado, pero se puede decir que el método de salto de Vieta para probar afirmaciones en la teoría de números utiliza la fórmula cuadrática.

Este archivo pdf proporciona algo más de detalles que la página de wikipedia.

Answer 6

En gráficos de computadora, podemos resolver intersecciones de rayos de luz con una clase de superficies que llamamos superficies cuadráticas usando … ¡la fórmula cuadrática! En lugar de explicarlo en detalle, solo te daré un puntero.

euclid.nmu.edu/~bpeterso/CS446-Handouts/Notes/CS446_Note_7.pdf

Cabe señalar que hay un tipo de truco lindo para simplificar la fórmula cuadrática que aparece a veces. Normalmente para resolver la ecuación [matemáticas] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemáticas] damos la solución como [matemáticas] \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2 – 4 ac}} {2 a }[/matemáticas]. Pero a menudo, al resolver cuadráticos como los que utilizamos en gráficos, encontramos fórmulas del tipo [matemáticas] x ^ 2 + 2 bx + c = 0 [/ matemáticas], que tiene soluciones como [matemáticas] -b \ pm \ sqrt {b ^ 2 – c} [/ math] que evita varias operaciones de coma flotante.

No es súper importante, pero sí genial.

Answer 7

Las ecuaciones de equilibrio de Hardy-Weinberg:
Suponiendo que solo hay 2 alelos para un rasgo
[matemáticas] p + q = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] p ^ 2 + 2pq + q ^ 2 = 1 [/ matemáticas]
donde p = la frecuencia de un alelo, y q = la frecuencia del otro alelo.
Entonces se sigue que:
[matemática] p ^ 2 [/ matemática] es la frecuencia de homocigotos para el alelo p.
[matemática] 2pq [/ matemática] es la frecuencia de heterocigotos.
[matemática] q ^ 2 [/ matemática] es la frecuencia de homocigotos para el alelo q.

Debido a esto, uno puede predecir la relación fenotípica para una frecuencia de alelos dada.

Y un uso más. Un cambio en p de una generación a la siguiente es, por definición, la evolución del rasgo en cuestión, y se puede suponer que se violaron una o más de cinco condiciones específicas para que eso ocurra.

1. apareamiento aleatorio
2. gran población
3. no inmigración o emigración
4. sin mutación
5. sin selección natural

La fórmula se puede ampliar para usar en rasgos con 3 o más alelos diferentes [matemática] p + q + r = 1 [/ matemática] y [matemática] p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2 + 2pq + 2pr + 2qr = 1 [/ matemáticas] … y así sucesivamente.

Answer 8

Debilitando robots asesinos que matan la guerra del planeta Krikkit.

“Los robots no lo están disfrutando, señor”.
“¿Qué?”
“La guerra, señor, parece que los está deprimiendo. Hay un cierto cansancio mundial en ellos, o tal vez debería decir cansancio del universo ”.
“Bueno, está bien, están destinados a ayudar a destruirlo”.
“Sí, bueno, les resulta difícil, señor. Están afectados por una cierta lasitud. Simplemente les resulta difícil respaldar el trabajo. Les falta empuje ”.
“¿Qué estás tratando de decir?”
“Bueno, creo que están muy deprimidos por algo, señor”.
“¿De qué habla Krikkit?”
“Bueno, en las pocas escaramuzas que han tenido recientemente, parece que van a la batalla, levantan sus armas para disparar y de repente piensan, ¿por qué molestarse? ¿De qué se trata cósmicamente hablando? Y parecen estar un poco cansados ​​y un poco sombríos ”.
“¿Y luego qué hacen?”
“Eh, ecuaciones cuadráticas en su mayoría, señor. Fiendishly difíciles los de todas las cuentas. Y luego se enfurruñan ”.
“¿Estar mohíno?”
“Sí señor.”
¿Quién ha oído hablar de un robot enfurruñado?
“No sé, señor”.
“¿Que fue ese ruido?”
Era el ruido de Zaphod saliendo con la cabeza girando.

Árbitro. La vida, el universo y todo, por Douglas Adams

Answer 9

¡Un posible uso es la factorización! Considere el ejemplo de 31621.

Desde un primer vistazo, el número parece ser un número primo.

31621 = 30000 + 1600 + 21
= (3 * 100 * 100) + (16 * 100) + 21
= [matemáticas] 3x ^ 2 + 16x + 21 [/ matemáticas] Suponiendo que x = 100
= [matemáticas] 3x ^ 2 + 9x + 7x + 21 [/ matemáticas]
= [matemáticas] 3x (x + 3) + 7 (x + 3) [/ matemáticas]
= [matemáticas] (x + 3) (3x + 7) [/ matemáticas]
= 103 * 307

Sin embargo, según mi experiencia, ¡parece que esto no siempre se aplica! Pero en algunos casos, resulta ser una herramienta muy poderosa.

Answer 10

No es una ecuación cuadrática exacta, sino una prima muy cercana.
Una iteración cuadrática es la base del conjunto de Mandelbrot …

[matemáticas] Z_n = Z_ {n-1} ^ 2 + c [/ matemáticas]

donde [matemática] Z_0 = 0 [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática] es algún punto en el plano complejo [matemática] x + iy [/ matemática].

La imagen creada por esta simple ecuación se ve así …

El extraño escarabajo se vuelve mucho más interesante a medida que observamos más de cerca el límite de la región negra …

Espero que estés preguntando … “¿Cómo genero esto usando la ecuación dada?”.

Es razonablemente simple en realidad …
Para cualquier punto [matemática] c = x + iy [/ matemática] en el plano complejo que se encuentra dentro de un círculo de radio 2 centrado en el origen, podemos calcular el valor correspondiente de [matemática] \ lim_ {n \ a + \ infty} Z_n [/ math].

Si el valor resultante es finito, pintamos el punto [matemáticas] (x, y) [/ matemáticas] negro, de lo contrario lo pintamos de blanco.

Hacemos esto para todos y cada uno de los puntos que queremos colorear, y pronto, la imagen emerge.

Por supuesto, no podemos evaluar [math] \ lim_ {n \ to + \ infty} Z_n [/ math] para todos los puntos, especialmente los puntos cerca del límite donde se encuentran las regiones negra y blanca. Para estos puntos, ejecutamos el programa para evaluar [matemáticas] Z_n [/ matemáticas] para algunos n grandes (digamos 20000) y ver qué tan lejos del origen está [matemáticas] Z_n [/ matemáticas]. Podemos pintar los píxeles en gradientes de escala de grises dependiendo de esta distancia.

La imagen resultante podría verse así …

O incluso podemos colorearlo (dependiendo de la distancia de [math] Z_n [/ math]) y hacer zoom en el límite para obtener esta imagen …

o esto…

Salte a la búsqueda de imágenes de google para tratar sus ojos … conjunto de mandelbrot – Búsqueda de Google

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Answer 11

La fórmula cuadrática se puede usar para factorizar ciertos polinomios multivariados. Por ejemplo, podemos factorizar [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2-xy-yz-zx [/ matemática] estableciendo la expresión igual a 0 y resolviendo para [matemática] x [/ matemática]. Tenemos
[matemáticas] x ^ 2- (y + z) x + y ^ 2-yz + z ^ 2 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] x = \ frac {y + z \ pm \ sqrt {y ^ 2 + 2yz + z ^ 2-4y ^ 2 + 4yz-4z ^ 2}} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {y + z \ pm \ sqrt {-3y ^ 2 + 6yz-3z ^ 2}} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {y + z \ pm \ sqrt {3} i (yz)} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {1+ \ sqrt {3} i} {2} y + \ frac {1- \ sqrt {3} i} {2} z, \ frac {1- \ sqrt {3} i} { 2} y + \ frac {1+ \ sqrt {3} i} {2} z [/ math]
[matemática] = – \ omega y – \ omega ^ 2 z, – \ omega ^ 2 y- \ omega z, [/ matemática] donde [matemática] \ omega ^ 3 = 1, \ omega \ ne 1 [/ matemática] .
Por lo tanto, los factores de expresión como [matemática] (x + \ omega y + \ omega ^ 2 z) (x + \ omega ^ 2 y + \ omega z). [/ Matemática]

Answer 12

Cuando un brazo robótico necesita girar durante la mitad del movimiento, no puede detenerse de manera realista al final de la primera dirección de viaje y luego comenzar en la otra. En cambio, se elige un punto en cada una de las dos direcciones de viaje (a dónde va actualmente y dónde terminará).

Luego, combinado con el punto en el medio que es el final de la primera dirección y el comienzo de la siguiente (donde habría sido la parada abrupta).

Por último, una ecuación cuadrática se resuelve con esos tres puntos para permitir un movimiento más suave donde el punto medio es el punto máximo / mínimo de la curva.

Answer 13

Hola, alguien ya ha mencionado su uso en ecuaciones diferenciales de segundo orden. La solución de ecuaciones cuadráticas también se usa para identificar los coeficientes de las ecuaciones diferenciales de segundo orden, pero también cómo las raíces de la ecuación cuadrática también identifican el tipo, es decir, elíptico, parabólico o hiperbólico.

Answer 14

La Proporción Dorada, también conocida como la Sección Dorada, se encuentra ampliamente en el arte, la arquitectura y la naturaleza. Se puede encontrar considerando un segmento dividido en dos partes. Deje que la parte más corta sea 1 y la parte más larga sea x. x es la proporción áurea si la proporción de la parte más corta a la parte más larga es igual a la proporción de la parte más larga al total. En otras palabras, x es la proporción áurea si 1 / x = x / (x + 1). Si cruzas multiplica esto, obtienes x ^ 2 = x + 1, o reorganizando, x ^ 2-x-1 = 0. Esto se puede resolver mediante la fórmula cuadrática: x = (1 + sqrt (5)) / 2 = 1.61803398875 …

Si no ha estado expuesto a la Golden Ratio antes, búsquelo en Internet. Existe una extensa y fascinante literatura sobre el tema. Tengo un video relacionado con esto aquí:

Answer 15

La “fórmula cuadrática” es realmente un resultado especial de un proceso general, llamado “completar el cuadrado”. No hay usos interesantes y menos conocidos de la fórmula cuadrática, pero hay muchos usos para completar el cuadrado y generalizaciones naturales.

La idea es cambiar las variables para deshacerse de la parte lineal de la ecuación:

x ^ 2 + ax + b = 0

define y = x + c, y

(yc) ^ 2 + a (yc) + b = 0

De modo que si elige c = a / 2, se deshace del término lineal en y.

y ^ 2 + b – a ^ 2/4 = 0

y luego la ecuación es trivial de resolver, y obtienes la fórmula cuadrática, descubriendo qué se supone que es x.

Se puede usar el mismo método para eliminar el siguiente término en cualquier ecuación polinómica. Entonces puede reducir un cúbico general a un cúbico de la forma:

x ^ 3 = hacha + b

sin pieza cuadrática. En este punto, si dice x = u + v, encontrará

x ^ 3 = 3uv x + u ^ 3 + v ^ 3

estableciendo 3uv = a y u ^ 3 + v ^ 3 = b, obtienes un par de ecuaciones que se resuelven solas, y esta es la fórmula cúbica de Tartaglia.

El mismo método para las ecuaciones cuárticas reduce el término cúbico, y luego puede encontrar la fórmula cuártica haciendo un ansatz que el cuarto factoriza en dos cuadráticos. Los coeficientes de las cuadráticas se pueden encontrar dando vueltas con las ecuaciones algebraicas resultantes, y esta es la solución de Cardano del cuarto.

En general, completar el cuadrado funciona para cualquier forma cuadrática, incluso en dimensiones más altas. Entonces

v ^ TA v + 2 B ^ T v

se puede completar cambiando v por A ^ {- 1} B. Este es el fundamento de la teoría de la integración gaussiana, y es lo que haces todo el tiempo en la teoría cuántica de campos.

Pero como no hay otra idea en la fórmula que no sea completar el cuadrado, no hay usos reales de la fórmula.

Answer 16

Lo encuentro útil para atajos aritméticos, por ejemplo, 49 x 49.
Sea x = 50, aplique x ^ 2 – 2x +1 = 2500-100 +1 = 2401
mucho más rápido que la multiplicación larga y puedes hacerlo en tu cabeza.

Answer 17

Aplicación más amplia y restricciones de respuesta por Linus Hamilton

Answer 18

Bajo una variedad de suposiciones no completamente realistas, proporciona la cantidad óptima de un producto que debe ordenarse regularmente (conocida como la Cantidad de orden económica).

Answer 19

WKT, la ecuación cúbica

Respuestas, X = –5, X = +5.1925824 y X = -0.1925824

Answer 20

Estará bien en todos los lugares y puntos y cosas que los factores tienen o son. Así son las cosas o la fórmula. Eso es prueba; siempre y cuando la comprensión sea válida para algo, obtienes
No hay menos conocido o uso como es