Asumiré que ayb son enteros positivos porque no has especificado su naturaleza.
[matemáticas] \ frac {1} {a} + \ frac {1} {b} = \ frac {5} {8} [/ matemáticas]
[matemática] \ Leftrightarrow 8a + 8b = 5ab [/ matemática] (ya que tanto [matemática] a [/ matemática] como [matemática] b [/ matemática] no son cero)
[matemáticas] \ Leftrightarrow 25ab – 40a – 40b = 0 [/ matemáticas]
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[matemática] \ Leftrightarrow (5a – 8) (5b – 8) = 64 [/ matemática]
Ahora nos queda un número finito de casos para representar [matemática] 64 [/ matemática] como el producto de dos números congruentes con [matemática] 2 [/ matemática] módulo [matemática] 5 [/ matemática].
El análisis simple de casos solo ofrece dos posibilidades:
[matemáticas] 5a – 8 = 2, \; 5b – 8 = 32 [/ matemáticas]
y
[matemáticas] 5a – 8 = 32, \; 5b – 8 = 2 [/ matemáticas]
produciendo [matemáticas] (a, \, b) = (2, \, 8) [/ matemáticas] o [matemáticas] (a, \, b) = (8, \, 2) [/ matemáticas].
Si [math] a [/ math] y [math] b [/ math] son reales arbitrarios, existirían infinitas soluciones.