El álgebra se introdujo en Occidente a través del texto El libro compensatorio sobre cálculo por finalización y equilibrio escrito en ~ 820 dC por el matemático persa Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī en Bagdad, que ahora es, por supuesto, la capital de Iraq. (La palabra “algoritmo”, por cierto, proviene del nombre de al-Khwarizmi).
La palabra álgebra se deriva de al-jabr , el nombre de una de las dos operaciones que al-Khwarizmi utilizó para resolver ecuaciones cuadráticas. Desde el principio, entonces, el álgebra fue algo que se ocupó de las operaciones aritméticas , como la suma, resta, multiplicación y división de números, las diversas propiedades de estas operaciones aritméticas y cómo interactúan entre sí.
Por ejemplo, si queremos tomar el producto (o suma) de un grupo de números, entonces es un hecho que siempre obtendremos la misma respuesta final sin importar el orden en que multipliquemos (o agreguemos) esos números.
Ahora, digamos, por ejemplo, que acabamos de levantarnos de la cama y queremos ponernos la ropa para comenzar el día. Necesitamos ponernos nuestros pantalones, nuestra camisa, nuestro calcetín izquierdo, nuestro calcetín derecho, nuestro zapato izquierdo y nuestro zapato derecho. A diferencia de la situación anterior, aquí el orden de estas operaciones a veces es importante. Si nos ponemos el calcetín derecho y luego el zapato derecho, eso dará un resultado diferente que si nos ponemos el zapato derecho y luego el calcetín derecho. Sin embargo, esta situación no es completamente diferente a la anterior: por ejemplo, al igual que la colocación de una prenda de vestir se puede deshacer quitándose la prenda, agregar un número se puede deshacer restando el número.
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- Desafíos matemáticos: ¿Puedes probar o refutar que si [matemáticas] f (f (x)) = x ^ 2 + 1 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] f (x) \ aprox \ frac {(x ^ 2 + 1 ) ^ {\ sqrt {2}} + x ^ {2 \ sqrt {2}} – 1} {2x ^ {\ sqrt {2}}} [/ math]?
Esto puede parecer realmente tonto, pero el punto es este: estamos discutiendo ciertos aspectos de dos cosas muy diferentes, ¡pero estamos usando los mismos conceptos y el mismo lenguaje! Esto es abstracción .
El poder de la abstracción proviene del hecho de que elimina los detalles irrelevantes de una situación particular, lo que nos permite descubrir verdades más fundamentales. También proviene del hecho de que nos permite unificar sujetos aparentemente dispares, para que podamos usar nuestra intuición y lo que sabemos sobre uno para informar lo que sabemos sobre el otro.
Por lo tanto, el álgebra abstracta es el estudio de las operaciones , ya no solo las operaciones aritméticas, sino también las operaciones en general, y sus propiedades. Es abstracto en el sentido de que podemos usar la letra [math] x [/ math] para representar un número o algo totalmente diferente, como ponerse una prenda de vestir, o rotar el cubo de Rubik en cierta dirección, o voltear un trozo de papel, o girar una rueda en el sentido de las agujas del reloj 60 grados, o estirar una lámina de goma, ¡ o cualquier cosa, de verdad! Por supuesto, el álgebra que aprendemos como escolares ya es similarmente abstracto, de alguna manera: [matemáticas] x [/ matemáticas] no solo representa un solo número, sino que representa cualquier número.
En otras palabras, el álgebra abstracta es el cálculo de hacer cosas . A nosotros, como humanos, nos gusta hacer cosas. Y la naturaleza también hace cosas. Algunas de estas cosas son útiles e importantes. ¡Y algunas de estas cosas son divertidas!
Aquí hay un ejemplo divertido:
Aquí hay otro ejemplo divertido:
Supongamos que es la 1 en este momento. Por alguna extraña razón, y decides que vas a mirar el reloj y registrar la hora cada 5 horas.
Entonces es la 1 en punto ahora.
La próxima vez que mires hacia arriba son las 6 en punto.
Entonces son las 11 en punto.
Entonces son las 4 en punto.
Entonces son las 9 en punto.
Entonces son las 2 en punto.
Entonces son las 7 en punto.
Entonces son las 12 en punto.
Entonces son las 5 en punto.
Entonces son las 10 en punto.
Entonces son las 3 en punto.
Entonces son las 8 en punto.
Ahora, observe que la secuencia de números que ha anotado: 1, 6, 11, 4, 9, 2, 7, 12, 5, 10, 3, 8 , ¡contiene todos los números entre 1 y 12 exactamente una vez!
El álgebra abstracta te ayuda a descubrir tales fenómenos y a comprender mejor cómo y por qué funcionan.