El teorema fundamental del álgebra le permite expresar cualquier polinomio con coeficientes reales como producto de polinomios lineales y cuadráticos, con coeficientes reales (que se traducen en soluciones reales y complejas).
La razón por la que es importante es algo larga, y no sé qué antecedentes tienes, así que aquí hay dos versiones de la respuesta.
La versión corta: el teorema fundamental del álgebra limita la cantidad de tipos de funciones que necesitas saber para hacer cálculos. En términos generales, solo necesita conocer las funciones polinomiales, trigonométricas y exponenciales para realizar la mayor parte del cálculo.
La versión larga:
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- Sea [math] f (x) = (x ^ 2-1) ^ \ frac {1} {2} [/ math], [math] x> 1 [/ math]. ¿Cómo pruebo que la enésima derivada de [matemática] f (x)> 0 [/ matemática] para un n impar, y la enésima derivada de [matemática] f (x) <0 [/ matemática] para una n par?
- Una función algebraica es aquella que se puede expresar usando un número finito de operaciones aritméticas básicas: suma, resta, multiplicación, división y raíces enésima.
- Todos los polinomios son funciones algebraicas. Además, si [math] f (x) [/ math] es un polinomio, [math] \ int f (x) \ dx [/ math] también será un polinomio.
- Todas las funciones racionales (cocientes de polinomios) son algebraicas.
- Sin embargo, la integral de una función racional no será en general algebraica: será un nuevo tipo de función (una función trascendental ).
¿De dónde viene el teorema fundamental del álgebra? Considere una función racional. Debido al teorema fundamental del álgebra, podemos factorizar el denominador en expresiones lineales y cuadráticas con coeficientes reales. A través de la técnica de fracciones parciales , podemos escribir la función racional original como una suma de funciones racionales con denominadores lineales o cuadráticos.
- Cuando integramos estos, los términos con denominadores lineales dan lugar a funciones logarítmicas. Jue [matemática] s \ int \ frac {1} {x} \ dx = \ ln x + C [/ matemática].
- Los términos con denominadores cuadráticos dan lugar a funciones trigonométricas inversas. Así [matemáticas] \ int \ frac {1} {x ^ {2} + 1} \ dx = \ arctan x + C. [/ Matemáticas]
El teorema fundamental del álgebra significa que la integral de cualquier función polinómica o racional se puede expresar mediante funciones polinómicas, racionales, algebraicas o trigonométricas.
Si no existiera el teorema fundamental del álgebra, tendríamos factores polinomiales irreducibles: por ejemplo, podríamos tener que lidiar con [matemáticas] \ int \ frac {1} {x ^ {3} + 1} \ dx [/ matemáticas]. Sin la capacidad de convertir esto en una suma de funciones racionales con denominadores lineales y cuadráticos, tendríamos que preguntarnos qué tipo de función produciría esto … y la respuesta podría ser un tipo completamente nuevo de función trascendental.