¿Cómo explicaría algunos conceptos básicos de la teoría de la representación a alguien que solo tiene una idea laica de grupos y campos?

Answer 1

Dado que la persona no puede confiar en entender cómo se ve [math] GL_n (k) [/ math], creo que trataría de confiar en los casos reales de dos y tres dimensiones, y en particular en las representaciones que puede entenderse como rotaciones y reflexiones. (Tendremos que arrastrar algunos números complejos a menos que estemos trabajando en un grupo de 2, y no creo que haya ningún grupo de 2 no trivial fácil de explicar).

Dado que la persona no sabe mucho sobre grupos, debe crear un grupo que sea (1) bastante simple, (2) no demasiado simple y (3) no intrínsecamente geométrico, para no confundir las cosas al tener que distinguir entre la geometría “inherente” y la geometría de la representación.

En consecuencia, creo que trataría de explicar las representaciones irreductibles de los grupos simétricos [math] S_3 [/ math] y [math] S_4 [/ math]. Es fácil explicar una permutación, y fácil explicar cómo se ve geométricamente cada uno de esos irreps.

Entonces diría algo como: “También puedes imaginar extender el mismo razonamiento a más de tres dimensiones, e incluso si lo haces, puedes dividir todas las representaciones en ‘copias’ de estas. Y una declaración análoga es válida para todos los grupos finitos. Entonces, dado cualquier sistema de simetría concebible (finito), tenemos una manera de entender realmente las formas en que algo podría tener ese tipo de simetría. Además, esta comprensión es mucho más susceptible a los cálculos que el grupo original. ”