Me sorprende que esta pregunta no tenga más respuestas. ¡Estoy aún más sorprendido de que solo tenga una respuesta, y su prueba no sea algebraica! Voy a usar la teoría de grafos algebraicos para probar esto.
Primero, asociemos una gráfica dirigida con la matriz no negativa [matemática] n \ veces n [/ matemática] [matemática] M [/ matemática]. Específicamente, construya el gráfico en vértices [matemáticos] n [/ matemáticos] de modo que haya una flecha que vaya desde el vértice [matemático] j [/ matemático] al vértice [matemático] k [/ matemático] si y solo si la entrada en el [math] j ^ \ textrm {th} [/ math] fila y [math] k ^ \ textrm {th} [/ math] columna de [math] M [/ math] no es cero. Tal gráfico terminará dividiéndose en varios componentes fuertemente conectados. Un componente gráfico se llama fuertemente conectado si, para cualquiera de los dos vértices arbitrarios [matemática] v [/ matemática] y [matemática] w [/ matemática] en el componente, existe una ruta que va desde [matemática] v [/ matemática] a [matemáticas] w [/ matemáticas].
Ahora se dice que la matriz [math] M [/ math] es irreducible si su gráfica dirigida tiene solo un componente fuertemente conectado: sí mismo. De lo contrario, es reducible . (Existen varios algoritmos que determinan el número de componentes fuertemente conectados de un gráfico dirigido en tiempo lineal).
Si [math] M [/ math] resulta ser irreducible, entonces podemos aplicar el teorema de Perron-Frobenius para matrices irreducibles para probar el resultado, es decir, que siempre hay un número real positivo [math] r [/ math] que es un valor propio de [matemáticas] M [/ matemáticas]. Además, también demostraríamos (cuando [math] M [/ math] es irreducible) que este valor propio es simple y su base propia asociada consiste en un solo vector propio cuyas entradas son números reales positivos.
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Si [math] M [/ math] es reducible, primero convertimos [math] M [/ math] en una matriz similar [math] P ^ {- 1} MP [/ math] en forma de bloque de triángulo superior. El tamaño de cada bloque corresponde al tamaño de cada componente gráfico fuertemente conectado definido anteriormente. Además, cada una de estas matrices de bloques serían matrices irreducibles o matrices cero (si ese componente de gráfico en particular no tiene bordes). Dado que los valores propios de matrices similares son iguales, y los valores propios de una matriz de bloque triangular superior es la unión de los valores propios de cada bloque, obtenemos que el valor propio más grande de [math] M [/ math] es el mayor de los valores propios máximos de cada bloque. Al aplicar el teorema de Perron-Frobenius para cada uno de los bloques irreducibles, inferimos que cada bloque tiene un valor propio real positivo. Por lo tanto, a menos que todos los bloques sean matrices cero, [matemática] M [/ matemática] tendrá un valor propio real positivo, de lo contrario, tendrá un valor propio cero (que todavía no es negativo). Tenga en cuenta que este valor propio ahora podría no ser simple y / o sus vectores propios asociados podrían no consistir en números reales positivos.