No estoy seguro de lo que quieres decir con “resolver” esta ecuación; Hay una familia infinita de soluciones que forman una curva algebraica:
(foto cortesía de WolframAlpha)
Podemos resolver la ecuación para y en términos de x. Primero, los denominadores claros, dando
- ¿Es posible que exista el inverso de una matriz, pero su determinante es cero? Si no, ¿por qué?
- El precio de la leche se incrementa en un 20%. ¿Cuánto porcentaje debería alguien reducir su consumo de leche para no aumentar su gasto?
- Si consideramos la suma [matemática] 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3… \ infty [/ matemática] obtenemos [matemática] 1/1-x [/ matemática] para valores de [matemática] x [/ matemática ] entre [matemáticas] -1 [/ matemáticas] y [matemáticas] 1 [/ matemáticas], con ambos excluidos. Entonces, si ponemos [math] -1 [/ math] (lo cual sería incorrecto) obtenemos [math] 0.5 [/ math]. ¿No prueba esto que la suma no es [matemática] 0.5 [/ matemática]?
- ¿Cómo resolverás este sistema de ecuaciones?
- En álgebra abstracta, ¿cuáles son algunos ejemplos del mundo real de grupos no belgas?
[matemáticas] x ^ 2 y + y ^ 2 x = 1 [/ matemáticas]
Ahora reconoce que esta es una ecuación cuadrática en y con coeficientes que son polinomios en x:
[matemáticas] xy ^ 2 + x ^ 2 y – 1 = 0 [/ matemáticas]
Resolvamos por y:
[matemáticas] y ^ 2 + xy = \ frac {1} {x} [/ matemáticas]
[matemáticas] y ^ 2 + xy + \ frac {x ^ 2} {4} = \ frac {1} {x} + \ frac {x ^ 2} {4} [/ matemáticas]
[matemática] \ izquierda (y + \ frac {x} {2} \ derecha) ^ 2 = \ frac {4 + x ^ 3} {4x} [/ matemática]
[matemáticas] y = \ frac {-x} {2} \ pm \ sqrt {\ frac {4 + x ^ 3} {4x}} [/ matemáticas]
(posiblemente menos algún conjunto finito de soluciones ficticias que podríamos haber creado donde x = 0 o y = 0, aunque en este caso es fácil ver que no existen tales soluciones).
Por supuesto, expresar las cosas de esta manera oscurece la naturaleza real de las soluciones: al mirar la imagen, las soluciones se dividen claramente en tres componentes, y esta expresión realmente no lo deja claro.
El problema aquí es que, al escribir y como una función de x, estamos esencialmente considerando la proyección de esta curva en el eje x. Pero como la curva tiene el eje x como asíntota, esa proyección no se comporta bien con respecto a los puntos en el infinito. Hagamos esto preciso: proyectivizando, tenemos la curva
[matemáticas] V: (x ^ 2 y + xy ^ 2 = z ^ 3) \ subseteq \ mathbb {P} ^ 2 [/ matemáticas]
Los puntos en el infinito están dados por
[matemáticas] \ {[x: y: z] \; El | \; x ^ 2 y + xy ^ 2 = 0 \} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ {[1: 0: 0], [0: 1: 0], [1: -1: 0] \} [/ matemáticas]
Si intentamos extender el mapa afín que toma la coordenada x de un punto, obtendríamos el mapa tomando [x: y: z] a [x: z]. Pero esto no nos da un mapa holomórfico de la línea proyectiva, porque no está definido en el punto [0: 1: 0]. En otras palabras, si estamos tratando de entender una curva plana proyectándola en una línea, es una mala idea intentar proyectarla en una asíntota de la curva, porque no podremos proyectar el mapa resultante.
Si queremos hacer algo similar, deberíamos considerar una proyección en una línea diferente
[matemática] [x: y: z] \ mapsto [ax + por: z] [/ matemática]
siempre que a, b y a – b sean distintos de cero. Por ejemplo, podríamos tomar el mapa
[matemáticas] [x: y: z] \ mapsto [x – y: z] [/ matemáticas]
que es, más prosaicamente, la proyección en la línea y = x. (De manera equivalente, podríamos simplemente rotar la ecuación 45 grados hacia la derecha para que esta línea se convierta en el eje x).
Esto nos da un mapa proyectivo bien definido [matemáticas] f: V \ to \ mathbb {P} ^ 1 [/ matemáticas] de superficies compactas de Riemann, que es la mejor manera de entender una curva algebraica compleja y suave. Por ejemplo, es fácil calcular que es un mapa de grado 3, lo que confirma la geometría visible en la imagen de arriba. No es demasiado difícil resolver los puntos de ramificación (dado que puede buscar la fórmula para el discriminante de un cúbico en Wikipedia), y luego puede aplicar Riemann-Hurwitz y determinar el género de la curva, etc.
Por supuesto, dado que este es un cúbico suave, en realidad es una curva elíptica, por lo que tienes toda esa bolsa de trucos para trabajar. Pero esa es una característica especial que no aparecería en otros problemas similares.