¿Es posible que exista el inverso de una matriz, pero su determinante es cero? Si no, ¿por qué?

Answer 1

Trataré de hacerlo breve.
¿Qué hace una multiplicación matricial?

Básicamente transforma tu espacio vectorial. Es decir, sus datos originales un rectángulo en 2 D y multiplicándolo con una matriz inducirá una transformación afín. Es decir, puede rotar este rectángulo, sesgar los ángulos o escalar las dimensiones. Ahora digamos que su rectángulo original era la Figura A y después de multiplicarlo con una matriz, obtiene una Figura B. girada y sesgada. Ahora desea encontrar una transformación, que cuando se aplica a B le devolverá A, como un mapeo inverso. Esto es exactamente lo que hace una matriz inversa, es deshacer la transformación inducida por la multiplicación original de la matriz.

En el caso de matrices con determinante cero
El determinante de una matriz es el volumen de una caja de unidad después de aplicar esa transformación de matriz. Por lo tanto, en el caso de un determinante cero, cuando multiplicas, digamos que tu figura A (que era un cuadrado o un rectángulo), se transferirá a una Línea. (Volumen cero). Ahora, este es un mapeo de 2 dimensiones a 1 dimensión, y todos los puntos se contraen en 1 sola dimensión. No hay manera, puede determinar la transformación inversa ya que todo colapsó en una línea. Por lo tanto, si el determinante de una matriz es nulo o cero para el caso. No puedes tenerlo es inverso.

Answer 2

Otra explicación más de por qué esto no puede suceder:

Una de las propiedades más interesantes de los determinantes es que [matemática] \ det (AB) = \ det (A) \ det (B) [/ matemática]. Como [math] AA ^ {- 1} = I [/ math], se deduce que [math] \ det (A) \ det \ left (A ^ {- 1} \ right) = 1 [/ math]. Si [math] \ det (A) = 0 [/ math] eso no puede suceder, entonces cualquier matriz con un inverso debe tener un determinante distinto de cero.

Answer 3

No.

Un mapeo lineal [math] \ mathcal {M} [/ math] en 2-D y su determinante .

El determinante le indica cuánto aumenta o disminuye el volumen una transformación lineal. Si el mapa lineal reduce los volúmenes a cero, es como reducir una región ⊂ el dominio en un simple punto ⊂ el codominio.

Solo un mapeo [matemático] f: A \ a B [/ matemático]. No necesariamente lineal .

Esto no tendría que ser cierto solo para las asignaciones lineales: cualquier función que asignara muchas cosas en una región de tamaño cero, no podría invertirse sin violar la [matemática] \ ge 1 \ text {-to-} 1 [/ matemática] propiedad que define una función. Si mapea muchas cosas en un solo punto (“el origen” en el caso de mapas lineales) , el inverso debería ser [math] \ text {one-to-many} [/ math]. No es una función

Gire las puntas de flecha en el diagrama anterior para ver un punto (como [math] \ mathbf {0} [/ math]) que se multipropina en muchas respuestas, violando la definición de una función.

Para una analogía sensorial de este aspecto del núcleo, puede pensar en el núcleo como “lo que se arroja al compactador de basura”. Incluso mejor que el compactador de basura es un agujero negro. Todas las cosas que le arrojaste nunca las puedes recuperar y todo se ha aplastado infinitamente en la singularidad del origen [math] \ mathbf {0} [/ math].

Por cierto, esto está relacionado con el teorema de nulidad de rango: las cosas se tiran a la basura (kernel) o no.

Answer 4

Si una matriz tiene un inverso, es una matriz cuadrada. El determinante se define para todas las matrices cuadradas.

Editar: el OP tenía la intención de preguntar si el determinante es 0. Dado que el determinante de un producto es el producto de los determinantes, una matriz invertible tiene un determinante distinto de cero (como se explica más conceptualmente en la respuesta de Shreyas).

Answer 5

Una matriz no cuadrada puede tener un inverso izquierdo o derecho. Esto significa AB = I con I la matriz de identidad, pero no BA = I. Tanto A como B tienen un inverso unilateral, pero no determinante porque no son cuadrados.

Edite para la nueva pregunta: es posible para matrices cuadradas infinitas. El determinante se convierte en un límite, que no converge para todas las matrices infinitas, y que llega a cero para algunas invertibles. Considere 2 I y 0.5 I donde I es la matriz de identidad infinita, por ejemplo. Son mutuamente inversos. El determinante de 2 I diverge, mientras que el determinante de 0.5 I es 0.

Answer 6

Si el determinante de la matriz es cero, el inverso de la matriz no existe.

Para matrices cuadradas, se obtiene el inverso de la matriz.

Al igual que las determinantes, las matrices no cuadradas no tienen inversa. Pero no todas las matrices cuadradas tienen inversa.

La matriz cuadrada con inversa se llama invertible o no singular

La matriz cuadrada sin inversa se llama no invertible o singular.

Si el valor del determinante no es igual a cero, existe Inversa.

Si el valor del determinante es igual a cero, Inverse no existe.

Para una explicación más detallada, consulte

Answer 7

Ciertamente es posible si intentas generalizar lo inverso.
Ver Moore-Penrose pseudoinverso u otro inverso generalizado. El inverso generalizado de una matriz satisface algunas propiedades de la matriz inversa, pero no necesariamente todas.

Answer 8

Por definición

B es inverso a A solo si

[matemáticas] AB = E_n [/ matemáticas]

[matemática] det (AB) = det (A) det (B) = det (E_n) = 1 [/ matemática]

Por lo tanto, [matemática] det (A) \ neq 0 [/ matemática]

Answer 9

Además de las excelentes respuestas hasta ahora, una cosa que podría ayudar es considerar el caso especial de una matriz [matemática] 2 \ veces 2 [/ matemática], donde la inversión es trivial.

[math] A = \ left (\ begin {array} {cc} a & b \\ c & d \ end {array} \ right). [/ math]

El inverso es

[matemáticas] A ^ {- 1} = \ frac {1} {ad – bc} \ left (\ begin {array} {cc} d & -b \\ -c & a \ end {array} \ right). [/matemáticas]

Siempre puede formar los valores permutados y negados en la matriz, pero puede terminar con una división entre 0. ¿Qué sucede cuando [math] ad – bc = 0? [/ Math] Tiene una división entre 0 y no puede calcularla. Pero esto corresponde a cuando una de las columnas es linealmente dependiente, es decir [matemáticas] (a, c) ^ {‘} = s (b, d) [/ matemáticas] para algunos escalares [matemáticas] s \ neq 0 . [/ math] Esto también ayuda a construir su intuición de por qué una matriz mal acondicionada es problemática, ya que corresponde a casi , pero no del todo, dividir por 0.

Por supuesto, el término [math] ad – bc [/ math] es solo el determinante, pero ayuda a manipularlo usted mismo en este pequeño caso. Pruebe varios valores simples usted mismo. Por ejemplo, deje que [math] (a, b, c) ^ {‘} = (1,2,2) ^ {‘} [/ math] y varíe [math] d = 4 + \ epsilon. [/ Math] Intente usar Wolfram Alpha (o simplemente el cálculo manual) para ingresar estos números y examinar cómo cambian los valores propios y el polinomio característico a medida que varía [matemáticas] \ epsilon [/ matemáticas].

Answer 10

Otra forma conceptual de entender esto es que el determinante es el producto de los valores propios de la transformación (con la multiplicidad correcta, pero eso no es importante aquí). Si el determinante es 0, entonces uno de los valores propios es 0. Ahora, si una transformación tiene un valor propio cero, eso significa que hay un subespacio distinto de cero que la transformación asigna a 0. Pero para que una función sea invertible, no puede asignar múltiples puntos al mismo punto.

Answer 11

Tal vez un pequeño comentario sobre los valores propios, los volúmenes y el inverso (el determinante distinto de cero implica una matriz invertible).
Sea 2 la matriz uno por uno con números en (Z / 4Z, +, x). Su determinante es distinto de cero, pero no es invertible. Para hacerlo, uno debe tener que el determinante en sí mismo sea invertible. El argumento determinante de cero habitual cuando trabajamos en espacios vectoriales en R o C, es precisamente que ser invertible es ser distinto de cero. Pero este es un caso particular, creo.

Answer 12

Si una matriz cuadrada tiene cero determinante, entonces debe tener cero como valor propio. Y, si tiene cero como valor propio, entonces la primera fila de su forma canónica racional mínima (con bloques ordenados de mayor a menor) consiste enteramente en ceros. Por lo tanto, no tiene rango de fila completo; y dado que no tiene rango de fila completo, no tiene rango de columna completo. Finalmente, dado que el rango de columna de una matriz en particular es invariable bajo el cambio de base, y esta matriz en contexto es similar a su forma canónica racional mínima que no tiene rango de columna completo, esta matriz tampoco tiene rango de columna completo. Por lo tanto, no es invertible.

Answer 13

El inverso de una matriz es su adyuvante dividido por su determinante. Esto significa que el inverso de una matriz existe si y solo si su determinante es distinto de cero.