Deje que [matemáticas] \ frac {a_ {1}} {b_ {1}}, \ frac {a_ {2}} {b_ {2}}, \ ldots, \ frac {a_ {n}} {b_ {n} } [/ math] be [math] n [/ math] fracciones con [math] b_ {i}> 0 [/ math] para [math] i = 1,2, \ ldots n [/ math]. ¿Se puede demostrar que [matemáticas] \ frac {a_ {1} + a_ {2} + \ ldots + a_ {n}} {b_ {1} + b_ {2} + \ ldots + b_ {n}} [/ matemáticas] es un número entre la más grande y la más pequeña de estas fracciones? ¿Si es así, cómo?

Answer 1

Digamos que la fracción más pequeña es [matemática] \ dfrac {a_ {i}} {b_ {i}} = m [/ matemática] y la fracción más grande es [matemática] \ dfrac {a_ {j}} {b_ {j} } = M [/ matemáticas].

Entonces, para [math] 1 \ le k \ le n [/ math], tenemos [math] m \ le \ dfrac {a_k} {b_k} \ le M [/ math]. Como [math] b_k> 0 [/ math], podemos multiplicar por [math] b_k [/ math] para obtener [math] mb_k \ le a_k \ le Mb_k [/ math].

Suma esta desigualdad para cada [matemática] k [/ matemática] de [matemática] 1 [/ matemática] a [matemática] n [/ matemática]:

[matemática] mb_1 + mb_2 + \ cdots + mb_n [/ matemática] [matemática] \ le a_1 + a_2 + \ ldots + a_n \ le [/ matemática] [matemática] Mb_1 + Mb_2 + \ cdots + Mb_n [/ matemática]

[matemática] m \ izquierda (b_1 + b_2 + \ cdots + b_n \ derecha) [/ matemática] [matemática] \ le a_1 + a_2 + \ ldots + a_n \ le [/ matemática] [matemática] M \ izquierda (b_1 + b_2 + \ cdots + b_n \ right) [/ math].

Como [math] b_1 + b_2 + \ ldots + b_n> 0 [/ math], tenemos:

[matemáticas] m \ le \ dfrac {a_1 + a_2 + \ ldots + a_n} {b_1 + b_2 + \ cdots + b_n} \ le M [/ math],

que es lo que queríamos