¿Cómo uso la inducción matemática para demostrar que para todos los números naturales [matemática] n [/ matemática] contiene [matemática] 1 + 2 + 2 ^ 2 + \ puntos + 2 ^ {n-1} = 2 ^ n – 1? [/matemáticas]

Answer 1

Sea [matemática] P (k): \ sum_ {i = 0} ^ k 2 ^ i = 2 ^ {k + 1} -1 [/ matemática]
Caso base:
Para [matemática] n = 0 [/ matemática] o [matemática] 1 [/ matemática], dependiendo de si considera [matemática] 0 [/ matemática] como un número natural o no, es fácil probar [matemática] P (0) [/ matemáticas] o [matemáticas] P (1) [/ matemáticas].
[matemáticas] 2 ^ 0 = 1 = 2 ^ 1 – 1 [/ matemáticas] o [matemáticas] 2 ^ 0 + 2 ^ 1 = 3 = 2 ^ 2 – 1 [/ matemáticas].
Hipótesis de inducción:
Ahora, suponga que [matemáticas] P (k) [/ matemáticas] es verdadero.
Paso de inducción:
Tenemos que demostrar que
[matemática] P (k + 1): \ sum_ {i = 0} ^ {k + 1} 2 ^ i = 2 ^ {k + 2} -1 [/ matemática]
LHS de P (k + 1) = [matemática] \ sum_ {i = 0} ^ {k + 1} 2 ^ i [/ matemática]
= [matemáticas] \ sum_ {i = 0} ^ {k} 2 ^ i + 2 ^ {k + 1} [/ matemáticas]
= [matemáticas] 2 ^ {k + 1} – 1 + 2 ^ {k + 1} [/ matemáticas] De la hipótesis de inducción
= [matemáticas] 2 \ cdot 2 ^ {k + 1} -1 [/ matemáticas]
= [matemáticas] 2 ^ {k + 2} -1 [/ matemáticas]
= RHS de P (k + 1)
Por lo tanto, probado.

Answer 2

Deje [matemáticas] P (n): 1 + 2 + 2 ^ 2 +…. + 2 ^ {n-1} = 2 ^ n – 1 [/ matemáticas]

Para todo n = k, [matemáticas] P (k): 1 + 2 + 2 ^ 2 +…. + 2 ^ {k-1} = 2 ^ k – 1 [/ matemáticas]

Ahora, si P (k) para todo n = k es verdadero, entonces P (k + 1) también debe ser verdadero, donde [matemáticas] P (k + 1): 1 + 2 + 2 ^ 2 +…. + 2 ^ k = 2 ^ {k + 1} – 1 [/ matemáticas].

Para probar si P (k + 1) es verdadero, necesitamos probar si LHS = RHS.

Para P (k + 1), [matemáticas] LHS = 1 + 2 + 2 ^ 2 +…. + 2 ^ k [/ matemáticas]
[matemáticas] = [1 + 2 + 2 ^ 2 +…. + 2 ^ {k-1}] + 2 ^ k [/ matemáticas]
[matemáticas] = 2 ^ k – 1 + 2 ^ k [/ matemáticas]
[matemáticas] = 2 (2 ^ k) – 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] = 2 ^ {k + 1} – 1 = RHS [/ matemáticas]

Como LHS = RHS, entonces P (k + 1) es verdadero, lo que también significa que P (k) es verdadero para todos n = k. Por lo tanto, P (n) es verdadero (probado).

¡Espero que esto ayude!

Answer 3

Llamemos a la fórmula dada, S (n), y dejemos que sea una función de n de la siguiente manera:

S (n) = 1 + 2 + 2² +… + 2 ^ (n ‒1) = 2 ^ (n) – 1

Ahora, utilizando el principio de inducción matemática para demostrar que la fórmula dada S (n) es verdadera para todos los números naturales n, procederemos de la siguiente manera:

A.) Demuestre que la fórmula dada S (n) es verdadera para n = 1.
S (1) = 1 = 2¹ – 1
1 = 2 – 1
1 = 1
Por lo tanto, la fórmula dada es verdadera para n = 1.

B.) Ahora, pruebe que si la fórmula dada S (n) es verdadera para n = k, donde k ≥ 1, entonces también es verdadera para n = k + 1.

Primero, suponga que la fórmula dada es verdadera para n = k, y, en consecuencia, la sustituimos en la fórmula dada de la siguiente manera:

S (k) = 1 + 2 + 2² +… + 2 ^ (k – 1) = 2 ^ (k) – 1 (1)

Ahora, pruebe que la fórmula dada es verdadera para n = k + 1.

S (k + 1) = 1+ 2 + 2² +… + 2 ^ (k – 1) + 2 ^ [(k ​​+ 1) – 1] = 2 ^ (k + 1) – 1
1 + 2 + 2² +… + 2 ^ (k – 1) + 2 ^ k = 2 ^ (k + 1) ‒1 (2)

Pero, de la Parte B anterior, tenemos la ecuación (1):

1 + 2 + 2² +… + 2 ^ (k – 1) = 2 ^ (k) – 1. Al sustituir este resultado en el lado izquierdo de la ecuación (2), obtenemos:

2 ^ (k) – 1 + 2 ^ k = 2 ^ (k + 1) ‒1

NOTA : Podemos hacer esta sustitución porque asumimos que la fórmula dada es verdadera para n = k; por lo tanto, podemos tratar el caso “n = k” como un hecho temporalmente para ver si significa que el caso “n = k + 1” también es cierto.

Ahora, al recopilar términos similares en el lado izquierdo, obtenemos:

2 [2 ^ (k)] – 1 = 2 ^ (k + 1) – 1

Como a = a¹ para cualquier número real a, tenemos:

(2¹) [2 ^ (k)] – 1 = 2 ^ (k + 1) – 1

Ahora, por la propiedad del Producto de Dos Potencias de los exponentes integrales positivos myn, es decir, aᵐ (aⁿ) = a ^ (m + n), tenemos el siguiente resultado deseado:

2 ^ (k + 1) – 1 = 2 ^ (k + 1) – 1

Dado que ahora se muestra que ambos lados de la ecuación son iguales, la ecuación es verdadera (satisfecha), lo que demuestra que la fórmula dada es verdadera para n = k + 1, así, a su vez, muestra que cuando la fórmula dada es verdadera para n = k, también es verdadera para n = k + 1 y, por lo tanto, es verdadera para todos los números naturales (enteros positivos) n.

Algunos ejemplos que ilustran la veracidad de la prueba anterior de la fórmula dada :

S (1) = 1 = 2¹ – 1
1 = 2 – 1
1 = 1 (mostrado anteriormente)

S (2) = 1 + 2 = 2² – 1
3 = 3

S (3) = 1 + 2 + 2² = 2³ – 1
1 + 2 + 4 = 8 – 1
7 = 7

S (4) = 1 + 2 + 2² + 2³ = 2 ^ 4 – 1
1 + 2 + 4 + 8 = 16 – 1
15 = 15
          
S (5) = 1 + 2 + 2² + 2³ + 2 ^ 4 = 2 ^ 5 – 1
1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 32 – 1
31 = 31

¡Y así sucesivamente, por siempre y para siempre como se ha demostrado anteriormente!

Answer 4

Sea [math] S (n) [/ math] la declaración: [math] 1 + 2 + 2 ^ {2} + \ cdots + 2 ^ {n-1} = 2 ^ {n} -1 [/ math ]; [matemáticas] n \ in \ N [/ matemáticas]

Paso básico: [matemática] S (1) [/ matemática]: [matemática] \ hspace {5 mm} [/ matemática] (Estoy usando [matemática] 1 [/ matemática] porque hay ambigüedad alrededor de la [matemática] \ hspace {35.5 mm} [/ math] membresía de [math] 0 [/ math] en el conjunto de todos [math] \ N [/ math].)

LHS: [matemáticas] 2 ^ {1-1} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ hspace {5,5 mm} 2 ^ {0} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ hspace {5.5 mm} 1 [/ matemáticas]

RHS: [matemáticas] 2 ^ {1} -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ hspace {6 mm} 2-1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ hspace {6 mm} 1 [/ matemáticas]

[matemática] \ hspace {47.5 mm} [/ matemática] LHS = RHS (verificado)

Paso inductivo:

Suponga que [matemática] S (k) [/ matemática] es verdadera, es decir, suponga que [matemática] 1 + 2 + 2 ^ {2} + \ cdots + 2 ^ {k-1} = 2 ^ {k} -1 [ /matemáticas]; [matemáticas] k \ in \ N [/ matemáticas]

[matemáticas] S (k + 1) [/ matemáticas]: [matemáticas] 1 + 2 + 2 ^ {2} + \ cdots + 2 ^ {k-1} +2 ^ {(k + 1) -1} = 2 ^ {k + 1} -1 [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow \ hspace {11.5 mm} 2 ^ {k} -1 + 2 ^ {(k + 1) -1} = 2 ^ {k + 1} -1 [/ math]

[math] \ Rightarrow \ hspace {11.5 mm} 2 ^ {k} -1 + 2 ^ {k} = 2 ^ {k + 1} -1 [/ math]

[math] \ Rightarrow \ hspace {11.5 mm} 2 \ bullet2 ^ {k} – 1 = 2 ^ {k + 1} – 1 [/ math]

[matemática] \ Rightarrow \ hspace {11.5 mm} 2 ^ {k + 1} – 1 = 2 ^ {k + 1} – 1 [/ math]

Entonces, [matemática] S (k + 1) [/ matemática] es verdadera siempre que [matemática] S (k) [/ matemática] sea verdadera.

Por lo tanto, [matemáticas] 1 + 2 + 2 ^ {2} + \ cdots + 2 ^ {n-1} = 2 ^ {n} – 1 [/ matemáticas]; [matemáticas] n \ in \ N [/ matemáticas].

Answer 5

Lo siento, no hablo inglés 🙂
Podemos considerar el sistema binario:
[matemáticas] 1 = (1) _ {2} [/ matemáticas];
[matemáticas] 2 = (10) _ {2} [/ matemáticas];
[matemáticas] 4 = (100) _ {2} [/ matemáticas];
[matemáticas] 8 = (1000) _ {2} [/ matemáticas];
…
entonces 1+ (1 + 2 + 4 + 8 +…) = [matemáticas] 1+ (1000….) _ {2} \ quad (n-1 \ quad veces \ quad 0) [/ matemáticas]
[matemáticas] = (10000 …) _ {2} \ quad (n \ quad veces \ quad 0) = 2 ^ n [/ matemáticas]
:pags

Answer 6

Deje T = 2 ^ 0 + 2 ^ 1 + 2 ^ 2 + …… + 2 ^ (n-1) entonces,

T = 2 ^ 0 + 2 ^ 1 [2 ^ 0 + 2 ^ 1 + 2 ^ 2 + …… + 2 ^ (n-2)]
T = 2 ^ 0 + 2 ^ 1 [T – 2 ^ (n-1)]
T = 1 + 2 * T – 2 ^ n
2 * T – T = 2 ^ n – 1, y finalmente,
T = 2 ^ n – 1.
Bueno, sé que esto no es inducción, pero me gusta demostrarlo de esta manera.

Answer 7

algebraicamente (x ^ (n + 1) – 1) / (x -1) = 1 + x +…. + x ^ n (puede probar esto usando la inducción o la ley distributiva). Ahora conecta 2 para x y es todo tuyo.