Si la función fuera diferenciable en los puntos finales [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática], entonces, por la definición de la derivada en un punto para existir, el límite respectivo de la pendiente como nos acercamos al punto desde la izquierda, y el límite de la pendiente a medida que nos acercamos al punto desde la derecha, debe existir y ser igual, para cada uno de los puntos [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas].
Pero aquí, para los teoremas del valor medio, solo se le da un intervalo [matemática] [a, b] [/ matemática] donde se define [matemática] f (x) [/ matemática] . Es decir, los puntos [matemática] a, b, [/ matemática] y lo que sea que se encuentre en el medio. En general, no tiene la información sobre lo que sucede a la izquierda de [matemáticas] a [/ matemáticas] o la derecha de [matemáticas] b [/ matemáticas]. No puede comentar si la función es totalmente diferenciable en los puntos finales porque la izquierda de [math] a [/ math] y la derecha de [math] b [/ math] están fuera de los límites; por lo tanto, calcular el límite izquierdo de la pendiente para [matemática] a [/ matemática] o el límite derecho de la pendiente para [matemática] b [/ matemática] no es posible cuando solo tiene información sobre la naturaleza de [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] dentro del intervalo [matemáticas] [a, b]. [/ matemáticas]