Comencemos con algunas definiciones:
* El divisor común más grande [math] \ mathrm {GCD} (a, b) [/ math] es el número natural más grande que divide tanto [math] a [/ math] como [math] b [/ math].
* El mínimo común múltiplo [math] \ mathrm {LCM} (a, b) [/ math] es el número natural más pequeño que es divisible por [math] a [/ math] y [math] b [/ math].
* Los dos números satisfacen la siguiente relación para [matemáticas] a, b> 0 [/ matemáticas]:
[matemáticas] \ mathrm {LCM} (a, b) = \ frac {ab} {\ mathrm {GCD} (a, b)} [/ math]
(Consulte el artículo de Wikipedia para el LCM como prueba).
Ahora, supongamos que [math] a, b [/ math] sean números naturales con [math] ab> 2 [/ math], y supongamos además, sin pérdida de generalidad, que [math] a \ ge b [/ math] . Deje [math] G \ equiv \ mathrm {GCD} (a, b) [/ math] y deje [math] L \ equiv \ mathrm {LCM} (a, b) [/ math]. Luego, a partir de la relación anterior, vemos que
[matemáticas] GL = ab [/ matemáticas]
Un resultado general es que para dos números cualquiera [matemática] a, b [/ matemática] con [matemática] a, b \ ge 1 [/ matemática] tenemos
[matemáticas] a + b \ le ab + 1 [/ matemáticas]
así que en este caso tenemos
[matemáticas] G + L \ le ab + 1 [/ matemáticas]
Ahora, como lo solicita la pregunta, supongamos que [math] G + L [/ math] es divisible por [math] a + b [/ math]. Necesitamos demostrar que
[matemáticas] \ frac {G + L} {a + b} \ le \ frac {1} {4} (a + b) [/ matemáticas]
Entonces supongamos lo contrario:
[matemáticas] \ frac {G + L} {a + b}> \ frac {1} {4} (a + b) [/ matemáticas]
Y encuentra una contradicción.
Multiplique la desigualdad por [matemáticas] a + b [/ matemáticas] para obtener
[matemáticas] \ frac {1} {4} (a + b) ^ 2 Como [matemáticas] G + L \ le ab + 1 [/ matemáticas], entonces tenemos
[matemáticas] \ frac {1} {4} (a + b) ^ 2
[matemáticas] a ^ 2 – 2ab + b ^ 2 <4 [/ matemáticas]
[matemáticas] (ab) ^ 2 <4 [/ matemáticas]
[matemáticas] ab <2 [/ matemáticas]
Donde en el último paso usamos nuestra suposición de que [math] a \ ge b [/ math]. Dado que [matemática] a, b [/ matemática] son números naturales, si la diferencia entre ellos es menor que [matemática] 2 [/ matemática], debe ser [matemática] 0 [/ matemática] o [matemática] 1 [ /matemáticas]. Separemos en dos casos.
Primer caso: [matemáticas] ab = 0 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] a = b [/ matemáticas]. Entonces, trivialmente, [matemáticas] G = L = a = b [/ matemáticas] y obtenemos
[matemáticas] \ frac {G + L} {a + b} = 1 [/ matemáticas]
Sin embargo, dado que [math] ab> 2 [/ math] debemos tener [math] a, b \ ge 2 [/ math] o [math] b = 1 [/ math] y [math] a \ ge 3 [ / matemáticas], entonces
[matemáticas] \ frac {1} {4} (a + b) \ ge 1 [/ matemáticas]
y por lo tanto
[matemáticas] \ frac {G + L} {a + b} = \ le \ frac {1} {4} (a + b) [/ matemáticas]
en contradicción con nuestra suposición.
Segundo caso: [matemática] ab = 1 [/ matemática], entonces [matemática] a = b + 1 [/ matemática]. Entonces es fácil ver que [matemáticas] G = 1 [/ matemáticas] (ya que el resto de [matemáticas] (b + 1) / b [/ matemáticas] es siempre [matemáticas] 1 [/ matemáticas]) y, utilizando identidad [matemáticas] GL = ab [/ matemáticas], vemos que [matemáticas] L = b (b + 1) [/ matemáticas]. Así tenemos
[matemáticas] \ frac {G + L} {a + b} = \ frac {b ^ 2 + b + 1} {2b + 1} [/ matemáticas]
Como suponemos que el lado zurdo es un número entero, esto significa que [matemática] 2b + 1 [/ matemática] divide [matemática] b ^ 2 + b + 1 [/ matemática]. Obviamente, también divide [matemática] 4 (b ^ 2 + b + 1) [/ matemática] y [matemática] (2b + 1) ^ 2 [/ matemática], por lo que divide la diferencia entre ellos, que se evalúa en:
[matemáticas] 4 (b ^ 2 + b + 1) – (2b + 1) ^ 2 = 3 [/ matemáticas]
En conclusión, [matemática] 2b + 1 [/ matemática] divide [matemática] 3 [/ matemática]. Por lo tanto, debemos tener [matemáticas] b = 1 [/ matemáticas] y, por lo tanto, [matemáticas] a = 2 [/ matemáticas], en contradicción con nuestra suposición de que [matemáticas] ab> 2 [/ matemáticas].
Así hemos demostrado por contradicción que
[matemáticas] \ frac {G + L} {a + b} \ le \ frac {1} {4} (a + b) [/ matemáticas]
Finalmente, es fácil ver que el cociente es exactamente igual a [matemática] \ frac {1} {4} (a + b) [/ matemática] cuando [matemática] a = b = 2 [/ matemática] o cuando [matemática ] a [/ math] y [math] b [/ math] son dos números impares consecutivos. Te dejaré mostrar esto tú mismo …