Tenga en cuenta que [math] \ displaystyle {f (x) = \ frac {x} {x + 1} = 1 – \ frac {1} {x + 1}} [/ math] está aumentando para [math] x \ gt 0. [/matemáticas]
Por lo tanto, si [math] a \ le b, [/ math] tenemos
[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {a} {a + 1} \ le \ frac {b} {b + 1} \ lt \ frac {b} {b + 1} + \ frac {c} {c + 1 }}.[/matemáticas]
Del mismo modo, si [math] a \ le c: [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {a} {a + 1} \ le \ frac {c} {c + 1} \ lt \ frac {b} {b + 1} + \ frac {c} {c + 1 }.}[/matemáticas]
Entonces, podemos suponer [matemáticas] a \ gt b [/ matemáticas] y [matemáticas] a \ gt c [/ matemáticas] mientras que [matemáticas] a \ lt b + c. [/ Matemáticas]
- Álgebra: ¿Cómo puedo descubrir que 3 ecuaciones lineales variables son consistentes o inconsistentes?
- Dada una matriz con entradas reales no negativas, ¿cómo puede probar algebraicamente que tiene un valor propio no negativo?
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Pero entonces:
[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {a} {1 + a} \ lt \ frac {b + c} {1 + a} \ lt \ frac {b} {1 + a} + \ frac {c} {1 + a} \ lt \ frac {b} {1 + b} + \ frac {c} {1 + c}.} [/ matemáticas]
De hecho, uno puede mostrar una versión ligeramente fuerte de esta desigualdad casi trivial; en realidad es suficiente que [matemática] a \ lt b + c + bc [/ matemática], vea If [matemática] a <b + c + 2bc [/ matemática] y [matemática] a + 1 <1 + b + c + bc [ / math], ¿puedes probar que: [math] \ frac {a} {a + 1} 0 [/ matemáticas] y son números reales?