A un nivel muy básico, la geometría algebraica es técnicamente el estudio de soluciones de sistemas de ecuaciones polinómicas. Sin embargo, como en realidad se estudia y practica, intenta responder preguntas cualitativas y geométricas sobre tales conjuntos de soluciones.
En álgebra de secundaria, puedes hacer cosas como tratar de determinar las soluciones precisas para un sistema de ecuaciones como
[matemáticas] y = x [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 = 2. [/ matemáticas]
Aquí esta es la intersección de una línea y un círculo, y consta de dos puntos. Es posible determinar con precisión las coordenadas de esos dos puntos, y no hay mucha “geometría” en curso.
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Pero, ¿qué pasa si consideramos un sistema de la forma?
[matemáticas] p (x, y, z) = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] q (x, y, z) = 0 [/ matemáticas]
donde [matemáticas] p, q [/ matemáticas] son dos polinomios en tres variables? Es de esperar que cada ecuación describa una superficie en 3 espacios, y que su intersección sea una curva.
¿Qué significa “resolver” un sistema de esta forma? Quizás signifique describir completamente el conjunto de soluciones de algún modo explícito. Por ejemplo, uno podría tratar de parametrizar la curva de intersección. Es decir, tal vez puedas escribir alguna función
[matemáticas] f: \ mathbb {R} \ a \ mathbb {R} ^ 3 [/ matemáticas]
tal que
[matemáticas] p (f (t)) = 0 [/ matemáticas]
para todos [math] t [/ math], y lo mismo con la otra ecuación.
Por ejemplo, tal vez estamos considerando el sistema
[matemáticas] z = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2-z ^ 2 = 1. [/ matemáticas]
Entonces el conjunto de soluciones puede ser parametrizado por
[matemáticas] f (t) = (\ cos t, \ sin t, 0) [/ matemáticas].
La parametrización del conjunto de soluciones podría verse como la forma algebraica de describir un conjunto cero de un sistema de polinomios. Aprendemos mucho (en cierto sentido todo) sobre las soluciones individuales, pero la estructura del conjunto de soluciones en su conjunto no está realmente iluminada.
Por otro lado, en geometría algebraica a uno no le importan mucho las ecuaciones explícitas. En el último ejemplo, podría decir que la intersección es un círculo y terminar de una vez. Por lo general, los tipos de preguntas que hace en geometría algebraica son preguntas más cualitativas sobre la estructura geométrica de las soluciones. Por supuesto, la teoría es capaz de hacer preguntas precisas sobre, por ejemplo, las coordenadas de puntos en el conjunto de soluciones, pero generalmente no tiene mucho que decir. Las cosas interesantes que puede aprender de la teoría implican información más profunda sobre toda la colección de soluciones, en lugar de soluciones individuales.
La superficie cúbica. Para un ejemplo menos trivial, una superficie cúbica es una superficie en 3 espacios definida por una ecuación polinómica de grado 3. Uno de esos ejemplos es la superficie cúbica de Fermat
[matemáticas] x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 = 1. [/ matemáticas]
La superficie cúbica de Fermat .
Si se nos dan dos superficies cúbicas diferentes, cada una dada por su propio polinomio de grado 3, desde una perspectiva algebraica no queda tan claro qué propiedades intrínsecas tienen en común las dos superficies. Solo están dados por alguna ecuación, y es difícil hacer analogías directamente entre ellos además del hecho de que tienen ecuaciones algo similares.
En geometría algebraica, estudiarías la superficie cúbica no necesariamente mirando, por ejemplo, las coordenadas de sus puntos, sino tratando de responder preguntas como
- ¿Qué tipo de curvas hay en esta superficie?
- ¿Hay otras formas de describir esta superficie en términos de algunas operaciones geométricas fundamentales?
- ¿Es posible parametrizar esta superficie por un plano? (Sin preocuparse necesariamente de cuál es la parametrización en términos de fórmulas explícitas).
Permítanme intentar describir un poco sobre cada una de estas tres preguntas en el caso de una superficie cúbica. Supongamos que nuestra superficie es lisa, lo cual es una condición técnica que garantiza que la superficie no tenga singularidades. En otras palabras, si hace un acercamiento realmente cercano a un punto de la superficie, se ve básicamente como un plano.
Curvas sobre una superficie cúbica. Obviamente, hay muchas curvas diferentes que están contenidas en una superficie cúbica. Por ejemplo, si intersecta la superficie con un plano, obtendrá una curva cúbica en ese plano. La mayoría de las veces, esto se ve así:
La sección plana típica de una superficie cúbica.
Si cruzara su cúbico con una superficie de mayor grado, como una superficie definida por una ecuación de grado 2, obtendría algunas curvas espaciales complicadas.
También es posible elegir un plano que se cruce con la superficie de tal manera que la intersección se vea así:
Imagen copiada descaradamente de antes.
En particular, la superficie en realidad contiene algunas líneas . Es un hecho que cualquier superficie cúbica lisa tiene 27 líneas. (En la imagen anterior del cúbico de Fermat, varias de las líneas son relativamente fáciles de ver. Algunas de las líneas pueden ser “complejas” o “en el infinito” y no visibles en la imagen real finita). Las líneas en una superficie cúbica se cruzan en un hermoso patrón llamado configuración de doble seis .
La configuración doble-seis de líneas en una superficie cúbica. (Crédito: Wikipedia)
Otra descripción de la superficie cúbica. Considera el avión. Hay una operación llamada explosión , que toma un punto en el plano y lo reemplaza por una línea. Quizás esto se ilustra mejor con la imagen prototípica:
Diagrama esquemático de la explosión de un avión.
Las líneas que pasan por el punto con diferentes pendientes se “estiran” en una escalera de caracol. La geometría algebraica no es tanto el estudio de las cosas recortadas por ecuaciones polinómicas específicas, sino el estudio de las cosas que pueden describirse mediante ecuaciones polinomiales, y esta cosa de escalera torpe puede de hecho describirse mediante ecuaciones polinómicas.
(Aparte: si la TSA le pregunta cuál es su trabajo mientras intenta subir a un vuelo, no diga “exploto aviones”, incluso si es verdad).
Resulta que si comienzas desde el avión y explotas seis puntos diferentes, entonces lo que terminas “es” una superficie cúbica. Pongo “es” entre comillas aquí porque la explosión aquí no está incrustada como una superficie en el espacio; lo que esto significa es que existe un mapa polinómico que incrusta la explosión en el espacio como una superficie cúbica.
Por el contrario, dada cualquier superficie cúbica lisa, hay una colección de seis puntos en el plano, de modo que la superficie es la explosión del plano en esos seis puntos. Las seis líneas introducidas en la ampliación son seis de las 27 líneas en la superficie cúbica.
Parametrización de la superficie cúbica por un plano. De hecho, es imposible parametrizar la superficie cúbica por un plano en el sentido más estricto: no hay forma de hacer que los puntos de la superficie cúbica se correspondan con los puntos del plano de una manera natural uno a uno. Pero la descripción alternativa de la superficie cúbica en la subsección anterior proporciona una forma natural de parametrizar casi todos los puntos por el plano. De hecho, la explosión del avión en seis puntos es básicamente el avión con seis puntos reemplazados por líneas. Luego, lejos de estas seis líneas, la superficie cúbica es parametrizada por el plano con los seis puntos arrojados. Decimos que la superficie cúbica es biracional al plano, y es racional.
Palabras de clausura Como se estudia realmente, la geometría algebraica tiene mucho más que ver con las imágenes geométricas que he presentado aquí que con la resolución de ecuaciones polinómicas de álgebra de tipo secundaria. Para estudiar conjuntos cero de sistemas de ecuaciones de dimensiones superiores es mucho más rentable hacer preguntas geométricas cualitativas que preguntar sobre ecuaciones explícitas y parametrizaciones.