¿Cómo puedo probar [matemáticas] \ sqrt {1 + \ sqrt {3} / 2} – \ sqrt {1 – \ sqrt {3} / 2} = 1 [/ matemáticas] sin usar la calculadora?

Answer 1

¡Realmente no hay suficiente trigonometría en esta pregunta! (nunca dijo nadie)

[matemáticas] \ sqrt {1 + \ dfrac {\ sqrt {3}} {2}} = \ sqrt {\ dfrac {2 + \ sqrt {3}} {2}} [/ matemáticas] [matemáticas] = \ sqrt {2} \ sqrt {\ dfrac {1 + \ dfrac {\ sqrt {3}} {2}} {2}} [/ math] [math] = \ sqrt {2} \ sqrt {\ dfrac {1 + \ cos 30 ^ {\ circ}} {2}} = \ sqrt {2} \ cos 15 ^ {\ circ} [/ math]

Del mismo modo, [matemáticas] \ sqrt {1 – \ dfrac {\ sqrt {3}} {2}} =
\ sqrt {2} \ sqrt {\ dfrac {1 – \ cos 30 ^ {\ circ}} {2}} = \ sqrt {2} \ sin 15 ^ {\ circ} [/ math]

En este punto, podría tomar el hecho de que [matemáticas] \ sin 15 ^ {\ circ} = \ dfrac {\ sqrt {6} – \ sqrt {2}} {4} [/ matemáticas] (siendo el coseno el conjugado ) de tu bolsillo trasero y ve desde allí. Decidí continuar a través de la conocida identidad de suma de productos (léase: poco conocida), que establece que
[matemática] \ sin A + \ sin B = 2 \ sin \ izquierda (\ dfrac {A + B} {2} \ derecha) \ cos \ izquierda (\ dfrac {A – B} {2} \ derecha) [/ matemáticas]
A partir de aquí, encontramos:

[matemáticas] \ sqrt {1 + \ frac {\ sqrt {3}} {2}} – \ sqrt {1 – \ frac {\ sqrt {3}} {2}} = [/ matemáticas] [matemáticas] \ sqrt {2} \ left (\ cos 15 ^ {\ circ} – \ sin 15 ^ {\ circ} \ right) [/ math] [math] = \ sqrt {2} \ left (\ sin 75 ^ {\ circ} – \ sin 15 ^ {\ circ} \ right) [/ math] [math] = \ sqrt {2} \ left (\ sin 75 ^ {\ circ} + \ sin \ left (-15 ^ {\ circ} \ right) \ right) [/ math] [math] = \ sqrt {2} \ left (2 \ sin 30 ^ {\ circ} \ cos 45 ^ {\ circ} \ right) = \ dfrac {2 \ sqrt {2 }} {2 \ sqrt {2}} = 1 [/ matemáticas]

Esto es mucho más largo que el truco al cuadrar, pero es más ampliamente aplicable, si es más feo.

Answer 2

Darse cuenta de:
[matemáticas] \ displaystyle {\ sqrt {1 + \ frac {\ sqrt {3}} {2}} = \ sqrt {\ frac {3} {4} + 2 \ cdot \ frac {\ sqrt {3}} { 2} \ cdot \ frac {1} {2} + \ frac {1} {4}} = \ sqrt {\ left (\ frac {\ sqrt {3}} {2} \ right) ^ 2 + 2 \ cdot \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ cdot \ frac {1} {2} + \ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ 2} = \ sqrt {\ left (\ frac { \ sqrt {3}} {2} + \ frac {1} {2} \ right) ^ 2} = \ frac {\ sqrt {3}} {2} + \ frac {1} {2}} [/ math ]

Similar:
[matemáticas] \ displaystyle {\ sqrt {1 – \ frac {\ sqrt {3}} {2}} = \ frac {\ sqrt {3}} {2} – \ frac {1} {2}} [/ math ]

Entonces finalmente:
[matemáticas] \ displaystyle {\ sqrt {1 + \ frac {\ sqrt {3}} {2}} – \ sqrt {1 – \ frac {\ sqrt {3}} {2}} = \ frac {\ sqrt { 3}} {2} + \ frac {1} {2} – \ left (\ frac {\ sqrt {3}} {2} – \ frac {1} {2} \ right) = 1} [/ math]

Answer 3

Dejar

[matemáticas] \ sqrt {1 + \ frac {\ sqrt {3}} {2}} – \ sqrt {1 – \ frac {\ sqrt {3}} {2}} = a [/ matemáticas]

Primero notamos que [math] a> 0 [/ math]. Ahora vamos a cuadrar ambos lados

[matemáticas] a ^ 2 = \ left (\ sqrt {1 + \ frac {\ sqrt {3}} {2}} – \ sqrt {1 – \ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ right) ^ 2 [/ matemáticas]
Así
[matemáticas] = 2 – 2 \ sqrt {\ left (1 + \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ right) \ left (1 – \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ right) } [/matemáticas]
[matemáticas] = 2 – 2 \ sqrt {1 – \ frac {3} {4}} = 1
[/matemáticas]

Ahora, como [matemáticas] a ^ 2 = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] a> 0 [/ matemáticas], por lo tanto, [matemáticas] a = 1 [/ matemáticas]

Answer 4

cuadrado al lado izquierdo. Da:
[matemáticas] 1+ \ frac {\ sqrt {3}} {2} + 1- \ frac {\ sqrt {3}} {2} -2 \ sqrt {1- \ frac {3} {4}} [/ matemáticas]
[matemáticas] 2-2 \ sqrt {\ frac {1} {4}} [/ matemáticas]
que es 1. entonces, nuestro lhs es +/- 1 pero dado que es positivo (primer término antes del signo menos es más grande que el segundo término) es 1.

Answer 5

Es bien sabido que [math] \ sqrt {(a + b) \ pm 2 \ sqrt {ab}} = \ sqrt a \ pm \ sqrt b [/ math]

[matemáticas] \ large {\ sqrt {1+ \ frac {\ sqrt 3} {2}} = \ sqrt {\ frac {4 + 2 \ sqrt 3} {4}} = \ frac {\ sqrt 3+ \ sqrt 1} {2} = \ frac {\ sqrt 3+ 1} {2}} [/ math]…. a = 3 y b = 1

Del mismo modo [matemáticas] \ large {\ sqrt {1- \ frac {\ sqrt 3} {2}} = \ frac {\ sqrt 3- 1} {2}} [/ math]

restando,

[matemáticas] \ Large {\ sqrt {1+ \ frac {\ sqrt 3} {2}} – \ sqrt {1- \ frac {\ sqrt 3} {2}} = \ frac {\ sqrt 3+ 1} { 2} – \ frac {\ sqrt 3- 1} {2}} [/ math]

[matemática] \ Grande {= \ frac {\ sqrt 3} {2} + \ frac {1} {2} – \ frac {\ sqrt 3} {2} + \ frac {1} {2}} [/ matemática ]

[matemáticas] = \ en caja {1} [/ matemáticas]

Answer 6

Tenga en cuenta que

[matemáticas] 4 \ left (1 \ pm \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ right) = 4 \ pm 2 \ sqrt {3} = (\ sqrt {3} \ pm 1) ^ 2 [/ matemáticas].

Por lo tanto, el LHS es igual

[matemáticas] \ frac {1} {2} \ left (\ sqrt {3} +1 \ right) – \ frac {1} {2} \ left (\ sqrt {3} -1 \ right) = 1 [/ matemáticas].

Answer 7

[matemáticas] \ sqrt {1+ \ dfrac {\ sqrt {3}} {2}} – \ sqrt {1- \ dfrac {\ sqrt {3}} {2}} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ left (\ sqrt {1+ \ dfrac {\ sqrt {3}} {2}} – \ sqrt {1- \ dfrac {\ sqrt {3}} {2}} \ right) ^ 2 = 1 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1+ \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} -2 \ sqrt {1+ \ dfrac {\ sqrt {3}} {2}} \ sqrt {1- \ dfrac {\ sqrt {3} } {2}} + 1- \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2-2 \ sqrt {\ left (1+ \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} \ right) \ left (1- \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} \ right)} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2-2 \ sqrt {1 ^ 2- \ left (\ dfrac {\ sqrt {3}} {2} \ right) ^ 2} = 1 [/ math]

[matemáticas] 2-2 \ sqrt {1- \ dfrac {3} {4}} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2-2 \ sqrt {\ dfrac {1} {4}} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2-2 \ left (\ dfrac {1} {2} \ right) = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2-1 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 = 1 [/ matemáticas]

Answer 8

Intentemos usar un poco de trigonometría para este.

Sabemos que [math] \ frac {\ sqrt {3}} {2} [/ math] = sin 120.

Entonces nuestra ecuación se reduce a,

[matemáticas] \ sqrt {1 + sin (120)} – \ sqrt {1-sin (120)} [/ matemáticas]

Usaremos las identidades

[matemáticas] 1 + sin (2x) = (sin (x) + cos (x)) ^ {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] 1-sin (2x) = (sin (x) -cos (x)) ^ {2} [/ matemáticas]

Esto reduce nuestra ecuación, después de cancelar las raíces cuadradas y cuadradas a,

[matemáticas] (sin (60) + cos (60)) – (sin (60) -cos (60)) = 2cos (60) = 1 [/ matemáticas]

Editar: Como se señaló, es posible que se pregunte por qué he tomado pecado (120) en lugar de pecado (60). También podría hacerlo con pecado (60), como a continuación:

[matemáticas] \ sqrt {1 + sin (60)} – \ sqrt {1-sin (60)} [/ matemáticas]

[math] = \ sqrt {(sin (30) + cos (30)) ^ {2}} – \ sqrt {(sin (30) -cos (30)) ^ {2}} [/ math]

Pero en la segunda raíz cuadrada, vemos que sin (30)

[math] = \ sqrt {(sin (30) + cos (30)) ^ {2}} – \ sqrt {(cos (30) -sin (30)) ^ {2}} [/ math]

Que ahora es igual a [matemáticas] 2sin (30) = 1 [/ matemáticas]

Answer 9

Mire dentro de los grandes signos de raíz cuadrada y verá conjugados, cuyo producto es 1 – 3/4 = 1/4, por lo que el producto de las raíces cuadradas es 1/2. Y dos veces el ‘primero por segundo’ en el LHS es – 1, que es la clave.

Cuadrado LHS y RHS:

1er al cuadrado, dos veces el primero por el segundo, 2do al cuadrado, nuevamente observando que dos veces el primero por el segundo es menos uno :):

1 + sqrt3 / 2 – 1 + 1 – sqrt3 / 2 = 1

cual es verdad:).

Answer 10

Deje a = [1+ (3 ^ .5) / 2] ^. 5 y b = [1- (3 ^ .5) / 2] ^. 5

ab = [(a -b) ^ 2] ^ .5. Es decir, obtener la raíz cuadrada del cuadrado

Entonces primero obtenga (a – b) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 – 2ab

= 1 + (3 ^ .5) / 2 + 1- (3 ^ .5) / 2 -2 [(1+ (3 ^ .5) / 2)] ^ 5 [1- (3 ^ 5) / 2 ] ^. 5.

Distribuya la potencia (.5) fuera del soporte

Entonces los factores para la diferencia. de dos cuadrados están entre corchetes

= 2. – 2 [(1+ (3 ^ 5) / 2) (1-; 3 ^ .5) / 2] ^. 5
= 2 – 2 [1- 3/4] ^. 5

= 2 -2 [1/4] ^. 5 = 2 – 2 (1/2) = 2-1

Entonces (a – b) ^ 2 = 1, entonces

(a -b) = +1, o – 1

Answer 11

escriba el término en raíz cuadrada en forma (a + b) ^ 2 y obtendrá fácilmente el resultado.

1 + sqrt (3) / 2 = [1/2 + sqrt (3) / 2] ^ 2.

de manera similar para el segundo término.