Problemas de competencia matemática: ¿Cuál es la solución a la pregunta número 4 de INMO (Olimpiada nacional india de matemática) 2014 (ver detalles de la pregunta)?

Escribamos el polinomio de la siguiente manera:
[matemáticas] P (x) = x ^ 2 + C x + H [/ matemáticas]
En el turno de Calvin, reemplaza [matemáticas] C [/ matemáticas] por [matemáticas] C \ pm 1 [/ matemáticas], y en el turno de Hobbes, reemplaza [matemáticas] H [/ matemáticas] por [matemáticas] H \ pm 1 [/ matemáticas]. Tenga en cuenta que el coeficiente de [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] nunca cambia.

Ahora, como no estamos tratando de encontrar una estrategia ganadora óptima , es suficiente demostrar que el polinomio tendrá alguna raíz entera específica en algún momento. Tomemos [math] 2 [/ math] como esa raíz entera específica. Entonces solo tenemos que demostrar que
[matemáticas] P (2) = 4 + 2C + H [/ matemáticas]
se convierte en cero después de un número finito de turnos.

Denotemos el valor de [matemática] P (2) [/ matemática], [matemática] C [/ matemática] y [matemática] H [/ matemática] después del turno de Hobbes [matemática] n [/ matemática] como [matemática ] P_n [/ math], [math] C_n [/ math] y [math] H_n [/ math] respectivamente. Entonces nosotros tenemos:
[matemáticas] P_n = 4 + 2C_n + H_n [/ matemáticas]

Para algunos [matemática] n \ ge 0 [/ matemática], deje que Calvin disminuya [matemática] C_n [/ matemática] en [matemática] 1 [/ matemática] en su turno, y deje que Hobbes aumente o disminuya [matemática] H_n [ / math] por [math] 1 [/ math] en su turno. Entonces, para [matemáticas] n + 1 [/ matemáticas] tenemos:
[matemáticas] P_ {n + 1} = 4 + 2 (C_n – 1) + (H_n \ pm 1) [/ matemáticas]
[matemáticas] = 4 + 2C_n + H_n – 2 \ pm 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] = P_n – 3 [/ matemáticas] o [matemáticas] P_n – 1 [/ matemáticas].

En cualquier caso, vemos que si usamos esta estrategia, [matemática] P_n [/ matemática] seguiría disminuyendo, ya sea [matemática] 1 [/ matemática] o [matemática] 3 [/ matemática], después de cada turno. Ya que
[matemáticas] P_0 = P (2) = 4 + 2 + 2014 = 2020> 0 [/ matemáticas]
vemos que después de un número finito de turnos [matemática] n [/ matemática], debemos llegar a alguna [matemática] P_n [/ matemática] que satisface
[matemáticas] 0 \ le P_n \ le 2 [/ matemáticas].

Ahora solo tenemos tres opciones:

1. Si [matemática] P_n = 0 [/ matemática] entonces Calvin gana.

2. Si [math] P_n = 2 [/ math] entonces Calvin disminuye [math] C_n [/ math] en 1 y gana.

3. Si [math] P_n = 1 [/ math] entonces, en el siguiente turno, tendríamos [math] P_ {n + 1} = 0 [/ math] o [math] P_ {n + 1} = -2 [/ math], según la elección de Hobbes. En el primer caso, Calvin gana (como en la opción 1 anterior). En el segundo caso, Calvin aumenta [matemática] C_ {n + 1} [/ matemática] en 1 y gana (como en la opción 2 anterior).

Voy a tratar de abordar esto de una manera diferente. Veamos si este razonamiento es válido:

El polinomio al principio se puede reescribir como:

[matemáticas] x (x + 1) = -2014 [/ matemáticas]

es decir, el producto de dos números consecutivos es -2014. Esto es claramente imposible bajo las restricciones dadas de que x es un número entero. El turno de Calvin dará como resultado un cambio en el intervalo entre los dos números cuyo producto producirá el coeficiente constante. Tal como está, para producir un producto negativo, la raíz entera debe tener un signo diferente de su “par de intervalos”.

Para comenzar, suponga que el coeficiente constante es siempre un valor [matemático] C [/ matemático] y Hobbes no tiene ningún efecto. El polinomio se reduce a:

[matemáticas] x (x + n) = C [/ matemáticas]

Una estrategia simple de aumentar el intervalo en cada turno garantizará que en algún intervalo ‘n’, los factores de [matemática] C [/ matemática] satisfagan el producto del par. En el caso de [math] C = -2014 [/ math], esto se logrará en [math] n = 91 [/ math], las raíces enteras serán -38 y -53. Los pares de intervalos serán {-38,53} y {-53,38}.

Ahora supongamos que permitimos que Hobbes actúe. La única forma en que Hobbes puede evitar que se genere un intervalo de factor es establecer el valor de [math] C [/ math] como primo, forzando que el intervalo establecido por Calvin sea igual al valor del número primo + 2. por ejemplo, si [ matemática] C = – 2111 [/ matemática], los únicos factores enteros son {-1,2111} o {-2111,1} y requieren [matemática] n = 2113 [/ matemática]. Si Hobbes pudiera moverse de primo a primo, Calvin nunca podría alcanzar a su par de intervalos para resolver la ecuación. Sin embargo, Hobbes se ve obligado a actualizar el valor de [math] C [/ math] por [math] \ pm 1 [/ math] en cada turno, por lo que es un número par susceptible de factorización al menos en cada turno.

Simplifiquemos el problema a dos escenarios, ya que no estamos buscando una solución óptima. Considere un escenario en el que Calvin ha decidido forzar uno de los factores a ser [matemática] +1 [/ matemática]. Ahora, el otro factor debe ser igual a [math] -C [/ math] y el intervalo se da como [math] n = C + 1 [/ math]. Si Hobbes usa una lógica simple de incrementar continuamente [matemáticas] C [/ matemáticas] cada turno, Calvin nunca podrá ponerse al día. ¿Qué sucede si Calvin obliga a un factor a ser [matemáticas] +2 [/ matemáticas]? Ahora el otro factor debe ser igual a [matemática] -C / 2 [/ matemática] y el intervalo será [matemático] n = C / 2 + 2 [/ matemático]. En otras palabras, en turnos [matemática] n [/ matemática], Hobbes puede alcanzar [matemática] 2014 + n [/ matemática] (cualquier disminución en C será contraproducente) mientras que Calvin puede alcanzar [matemática] 2 (n-2) [/matemáticas]. La tasa de aumento de Calvin es el doble que la de Hobbes. En algún momento, los factores de Calvin factorizarán el coeficiente constante o el siguiente número par más bajo si la constante es impar. En este punto, Hobbes tiene dos opciones: o disminuir la constante, resultando en una ecuación solucionable y declarando a Calvin el ganador; o incremente la constante y espere a que Calvin incremente su coeficiente y factorice la nueva constante el próximo turno y gane el juego. De cualquier manera, Calvin gana. El peor de los casos requerirá [math] n = 2018 [/ math] turnos.

Para resumir, una estrategia simple de incrementar continuamente el coeficiente de [matemáticas] x [/ matemáticas] garantizará una victoria para Calvin en [matemáticas] n [/ matemáticas] giros con raíces enteras [matemáticas] -2; 2-n [/ matemáticas] .

Permítanme agregar esta respuesta motivada geométricamente, que tiene la ventaja de ser extremadamente breve.

Comience con cualquier polinomio [matemática] x ^ 2 + px + q [/ matemática], [matemática] p, q \ in \ mathbb {Z} [/ matemática]. Mientras el juego continúa si, [math] (u, v) [/ math] se encuentra en la línea [math] Y = nX – n ^ 2 [/ math] para algunos [math] n \ in \ mathbb {Z} [/ math] entonces el polinomio [math] x ^ 2 + ux + v [/ math] tiene raíces enteras.

Ahora tomemos [matemáticas] n = 2 [/ matemáticas]. (Más adelante debería poder darse cuenta de por qué otros valores de [matemáticas] n [/ matemáticas], excepto [matemáticas] -2 [/ matemáticas], no funcionan).

La estrategia de Calvin es si en cualquier instante, [matemática] (u, v) [/ matemática] está en el lado izquierdo de la línea [matemática] Y = 2X – 4 [/ matemática], entonces lo hace [matemática] (u , v) \ to (u + 1, v) [/ math] y si está en el lado derecho de la línea, [math] (u, v) \ to (u-1, v) [/ math] es decir Calvin siempre camina horizontalmente un paso hacia la línea. Ahora mostramos por qué esto funciona. Como la pendiente de la línea es [matemática] 2 [/ matemática] (en particular más de [matemática] 1 [/ matemática]), la trayectoria de los jugadores debe cruzar la línea de pendiente [matemática] 2 [/ matemática]. Ahora, incluso si ese cruce de un lado a otro no ocurre a través de puntos enteros en la línea, en la mayoría de los dos giros más (ver el archivo adjunto) la trayectoria se cruza [matemática] Y = 2x – 4 [/ matemática] en [matemática ] \ mathbb {Z} ^ 2 [/ math].

Tenga en cuenta que 2014 se puede dividir en raíces enteras como

  1. 1 y 2014

2. 2 y 1007

3. 38 y 53

4. 19 y 106

5.Todos sus homólogos negativos.

La suma de los 2 pares tomados a la vez es impar (incluso negativa). Esto implica que el valor de n para que la función x ^ 2 + nx +2014 tenga raíces enteras debe ser impar.

Como el valor inicial de n es impar, y tanto Calvin como Hobbes tienen que aumentar o disminuir en 1, por lo que Calvin pone 1 (-) y hace que la suma sea par y cuando Hobben pone 1 (-), la suma es nuevamente impar. En cualquier caso, Hobbes solo alcanzaría las sumas, independientemente del movimiento de Hobbes, el juego termina en empate o Calvin gana.

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¿Cómo resolverás este sistema de ecuaciones?