Escribamos el polinomio de la siguiente manera:
[matemáticas] P (x) = x ^ 2 + C x + H [/ matemáticas]
En el turno de Calvin, reemplaza [matemáticas] C [/ matemáticas] por [matemáticas] C \ pm 1 [/ matemáticas], y en el turno de Hobbes, reemplaza [matemáticas] H [/ matemáticas] por [matemáticas] H \ pm 1 [/ matemáticas]. Tenga en cuenta que el coeficiente de [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] nunca cambia.
Ahora, como no estamos tratando de encontrar una estrategia ganadora óptima , es suficiente demostrar que el polinomio tendrá alguna raíz entera específica en algún momento. Tomemos [math] 2 [/ math] como esa raíz entera específica. Entonces solo tenemos que demostrar que
[matemáticas] P (2) = 4 + 2C + H [/ matemáticas]
se convierte en cero después de un número finito de turnos.
Denotemos el valor de [matemática] P (2) [/ matemática], [matemática] C [/ matemática] y [matemática] H [/ matemática] después del turno de Hobbes [matemática] n [/ matemática] como [matemática ] P_n [/ math], [math] C_n [/ math] y [math] H_n [/ math] respectivamente. Entonces nosotros tenemos:
[matemáticas] P_n = 4 + 2C_n + H_n [/ matemáticas]
Para algunos [matemática] n \ ge 0 [/ matemática], deje que Calvin disminuya [matemática] C_n [/ matemática] en [matemática] 1 [/ matemática] en su turno, y deje que Hobbes aumente o disminuya [matemática] H_n [ / math] por [math] 1 [/ math] en su turno. Entonces, para [matemáticas] n + 1 [/ matemáticas] tenemos:
[matemáticas] P_ {n + 1} = 4 + 2 (C_n – 1) + (H_n \ pm 1) [/ matemáticas]
[matemáticas] = 4 + 2C_n + H_n – 2 \ pm 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] = P_n – 3 [/ matemáticas] o [matemáticas] P_n – 1 [/ matemáticas].
- ¿Cómo pueden [matemáticas] a = 1, b = \ frac {n} {n + 1} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ izquierda (ab ^ {n + 1} \ derecha) ^ {\ frac {1} { n + 2}} \ left (1 + \ frac {1} {n + 1} \ right) ^ {n + 2}? [/ math]
- Deje que [matemáticas] \ frac {a_ {1}} {b_ {1}}, \ frac {a_ {2}} {b_ {2}}, \ ldots, \ frac {a_ {n}} {b_ {n} } [/ math] be [math] n [/ math] fracciones con [math] b_ {i}> 0 [/ math] para [math] i = 1,2, \ ldots n [/ math]. ¿Se puede demostrar que [matemáticas] \ frac {a_ {1} + a_ {2} + \ ldots + a_ {n}} {b_ {1} + b_ {2} + \ ldots + b_ {n}} [/ matemáticas] es un número entre la más grande y la más pequeña de estas fracciones? ¿Si es así, cómo?
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En cualquier caso, vemos que si usamos esta estrategia, [matemática] P_n [/ matemática] seguiría disminuyendo, ya sea [matemática] 1 [/ matemática] o [matemática] 3 [/ matemática], después de cada turno. Ya que
[matemáticas] P_0 = P (2) = 4 + 2 + 2014 = 2020> 0 [/ matemáticas]
vemos que después de un número finito de turnos [matemática] n [/ matemática], debemos llegar a alguna [matemática] P_n [/ matemática] que satisface
[matemáticas] 0 \ le P_n \ le 2 [/ matemáticas].
Ahora solo tenemos tres opciones:
1. Si [matemática] P_n = 0 [/ matemática] entonces Calvin gana.
2. Si [math] P_n = 2 [/ math] entonces Calvin disminuye [math] C_n [/ math] en 1 y gana.
3. Si [math] P_n = 1 [/ math] entonces, en el siguiente turno, tendríamos [math] P_ {n + 1} = 0 [/ math] o [math] P_ {n + 1} = -2 [/ math], según la elección de Hobbes. En el primer caso, Calvin gana (como en la opción 1 anterior). En el segundo caso, Calvin aumenta [matemática] C_ {n + 1} [/ matemática] en 1 y gana (como en la opción 2 anterior).