Hay dos puntos A = (2,0) y B = (4,0) y un punto móvil P = (t, t) en el plano xy. Si el valor mínimo de la línea AP + línea BP es b, ¿cuál es el valor de b ^ 2?

Answer 1

La distancia mínima aquí se puede encontrar de varias maneras. Un enfoque obvio es el cálculo, pero eso terminará siendo bastante feo y no demasiado esclarecedor. Otro enfoque consiste en imaginar un espejo a lo largo de la línea y = x y considerar diferentes posibilidades para los caminos de luz. Este tren de pensamiento motiva el siguiente enfoque, más elegante:

Imagina que reflejamos el punto A a través de la línea y = x (esta es la ecuación a lo largo del recorrido del punto P). Esto nos da el punto (0,2). Llamar (0,2) A ‘. Entonces, debido a que la línea AA ‘es perpendicular a y = x por definición, tenemos AP = A’P para cualquier punto elegido P. Por lo tanto, ahora podemos minimizar la cantidad A’P + PB. Observe que esto es mínimo precisamente cuando P está en la línea A’B (¿por qué?). Luego concluimos que el valor mínimo para b ^ 2 es A’B ^ 2 = 4 ^ 2 + 2 ^ 2 = 20.

(Perdón por las matemáticas elegantes, estoy en mi teléfono y no puedo encontrar la barra diagonal inversa: p)

Answer 2

La respuesta es 4. La distancia mínima se producirá solo cuando el punto esté en el eje x. Entonces AP + BP = 2. Eso es b = 2 y b ^ 2 = 4.

Answer 3

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