Sea [math] f (x) = (x ^ 2-1) ^ \ frac {1} {2} [/ math], [math] x> 1 [/ math]. ¿Cómo pruebo que la enésima derivada de [matemática] f (x)> 0 [/ matemática] para un n impar, y la enésima derivada de [matemática] f (x) <0 [/ matemática] para una n par?

Answer 1

Esta es una gráfica para las primeras diez derivadas (azul = par, rojo = desigual; más blanca = derivada más alta)
(Instintivamente tomaría f como su propia derivada 0, pero luego la declaración es falsa, así que tenga cuidado)

La prueba restante es que [matemática] f ^ {(n)} (x)> 0 [/ matemática] [matemática] \ Leftrightarrow [/ matemática] [matemática] n [/ matemática] es par para valores de [matemática] x > 0 [/ math] (y la función nunca es 0), puede hacerse por inducción. Primero establezcamos un patrón, señalando las primeras derivadas
[matemáticas] f ^ {(1)} (x) = \ frac {x} {\ sqrt {x ^ 2-1}} [/ matemáticas]
[matemáticas] f ^ {(2)} (x) = \ frac {-1} {\ sqrt {x ^ 2-1} ^ 3} [/ matemáticas]
[matemáticas] f ^ {(3)} (x) = \ frac {3x} {\ sqrt {x ^ 2-1} ^ 5} [/ matemáticas]
[matemáticas] f ^ {(4)} (x) = \ frac {-4x ^ 2-3} {\ sqrt {x ^ 2-1} ^ 7} [/ matemáticas]
Podríamos notar que, en general, la derivada [math] n [/ math] th tiene denominador [math] \ sqrt {x ^ 2-1} ^ {(2n-1)} [/ math], y el numerador es un polinomio, donde todos los coeficientes son no negativos (para n impar) o no positivos (para n par). (*) Si podemos probar esto, la proposición que estamos tratando de probar sigue directamente.

Inducción:

• La primera derivada coincide claramente con el patrón.
• Suponga que la enésima derivada es de la forma dada, por lo tanto, [matemática] f ^ {(n)} (x) = (- 1) ^ np / \ sqrt {x ^ 2-1} ^ {(2n-1)} [/ math], donde [math] p [/ math] es un polinomio con coeficientes no negativos, entonces la derivada de eso también es de la forma dada (esto requiere un poco de aritmética, pero demasiado aburrido para escribir aquí)
• Esto es equivalente a la declaración (*) anterior, y la proposición se deduce directamente de eso.

Answer 2

Los números catalanes [math] C_k = \ tfrac {1} {k + 1} \ tbinom {2k} {k} [/ math] son ​​una secuencia de enteros positivos con función generadora
[matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ \ infty C_ku ^ k = \ frac {1 – \ sqrt {1 – 4u}} {2u} [/ matemáticas],
que converge para [matemáticas] | u | \ le \ tfrac14 [/ math]. Sustituyendo [math] u = (2x) ^ {- 2} [/ math] rendimientos
[matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ \ infty C_k (2x) ^ {- 2k} = 2x (x – \ sqrt {x ^ 2 – 1}) [/ matemáticas],
[matemática] \ sqrt {x ^ 2 – 1} = x – \ sum_ {k = 0} ^ \ infty C_k (2x) ^ {- 2k – 1} [/ matemática].
La propiedad deseada sigue, porque cada término de la serie la satisface.

Answer 3

Vamos a establecer [matemáticas] x ^ 2 + 1 = u [/ matemáticas].
La primera derivada de [matemáticas] u ^ \ frac {1} {2} [/ matemáticas] es entonces [matemáticas] \ frac {1} {2} * u ^ \ frac {-1} {2} * \ frac { du} {dx} [/ math], pero [math] \ frac {du} {dx} = 2x [/ math], entonces el [math] \ frac {1} {2} [/ math] en la expresión cancela fuera.
La segunda derivada …
[matemáticas] -1 * (x ^ 2-1) ^ \ frac {-3} {2} [/ matemáticas]
Este patrón continúa. El exponente que se despliega ([matemática] \ frac {d} {dx} x ^ n = n * x ^ {n-1} [/ matemática]) se cancelará con el 2 de [matemática] \ frac {du} { dx} [/ math], y dado que [math] (- 1) ^ n [/ math] es -1 para n impar y 1 para n par, el signo de la enésima derivada se alterna de la misma manera.

Answer 4