Álgebra: ¿Qué significa “cualquier sistema de tercer orden totalmente antisimétrico en tres dimensiones es proporcional al símbolo e correspondiente”?

Answer 1

El “símbolo e” es el símbolo Levi-Civita, definido de la siguiente manera:
[matemáticas] \ epsilon_ {123} = \ epsilon_ {231} = \ epsilon_ {312} = +1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ epsilon_ {321} = \ epsilon_ {213} = \ epsilon_ {132} = -1 [/ matemáticas]
Todas las demás entradas son cero.

El símbolo de Levi-Civita es totalmente antisimétrico, lo que significa que si intercambia dos de sus índices, el signo del valor cambia. Por ejemplo, [math] \ epsilon_ {123} = – \ epsilon_ {213} [/ math].

No es difícil ver que cualquier tensor de tercer rango totalmente antisimétrico en tres dimensiones tiene que ser un múltiplo del símbolo Levi-Civita. En primer lugar, si se repite algún índice, el valor debe ser cero, al igual que en el símbolo de Levi-Civita. Por ejemplo, [matemáticas] T_ {112} = 0 [/ matemáticas]. Esto se debe a que puede transponer los dos índices iguales y se supone que esto cambia el signo: [matemáticas] T_ {112} = -T_ {112} [/ matemáticas]. Obviamente, esto implica que es cero. Ahora, puede elegir [math] T_ {123} [/ math] para que sea el valor que desee, pero una vez que haya hecho eso, puede permutar los índices mediante transposiciones repetidas.

Por ejemplo, supongamos que un tensor de tercer rango totalmente antisimétrico tiene [matemática] T_ {123} = -5 [/ matemática]. Luego, por antisimetría, vemos que
[matemáticas] T_ {213} = -T_ {123} = +5 [/ matemáticas] mediante la transposición de los dos primeros índices
[matemáticas] T_ {132} = -T_ {123} = +5 [/ matemáticas] mediante la transposición de los dos últimos índices
[matemáticas] T_ {321} = -T_ {123} = +5 [/ matemáticas] mediante la transposición del primer y último índice

Además,
[matemáticas] T_ {231} = -T_ {213} = -5 [/ matemáticas] mediante la transposición de los dos últimos índices
[matemáticas] T_ {312} = -T_ {213} = -5 [/ matemáticas] mediante la transposición del primer y último índice

Entonces, de hecho, encontramos que [matemáticas] T = -5 \ epsilon [/ matemáticas]; Nuestro tensor totalmente antisimétrico es un múltiplo del símbolo Levi-Civita. Una vez que hemos elegido un solo componente del tensor, nuestras manos están atadas; el resto puede deducirse solo por antisimetría El resultado es que siempre obtienes un múltiplo del símbolo Levi-Civita.

Este resultado se cumple en cualquier cantidad de dimensiones: en N dimensiones, cualquier tensor de rango N totalmente antisimétrico es proporcional al símbolo N-dimensional de Levi-Civita.