¿Qué enteros no se pueden representar como la diferencia de dos cuadrados?

Answer 1

[matemática] N [/ matemática] no puede representarse como la diferencia de dos cuadrados solo en caso de que el resto cuando [matemática] N [/ matemática] se divida entre cuatro sea dos.

Esto es porque [matemática] A ^ 2 – B ^ 2 = (A + B) (A – B) [/ matemática]. Por lo tanto, [matemática] N [/ matemática] es una diferencia de cuadrados solo en caso de que [matemática] N [/ matemática] sea producto de dos factores que difieren en una cantidad par ([matemática] 2B [/ matemática]), que significa [matemática] N [/ matemática] es un producto de dos factores de la misma paridad, lo que significa que [matemática] N [/ matemática] es un producto de dos factores impares (como todos, y solo, los números impares lo son; p. ej. , tomando un factor como [matemática] 1 [/ matemática] y el otro como [matemática] N [/ matemática]) o un producto de dos factores pares (ya que todos, y solo, los números divisibles por cuatro son; por ejemplo, tomando un factor para ser [matemáticas] 2 [/ matemáticas] y el otro para ser [matemáticas] N / 2 [/ matemáticas]).

Explicado para aquellos que lo encuentren más claro de esta manera:

Si [math] N [/ math] es impar, entonces es [math] (\ frac {N + 1} {2}) ^ 2 – (\ frac {N – 1} {2}) ^ 2 [/ math ]

Si [math] N [/ math] es divisible por cuatro, entonces es [math] (\ frac {N} {4} + 1) ^ 2 – (\ frac {N} {4} – 1) ^ 2 [ /matemáticas].

Si [matemática] N [/ matemática] no es impar ni divisible por cuatro, entonces está a una distancia de [matemática] 2 [/ matemática] de un múltiplo de cuatro. Pero cada cuadrado tiene el resto [matemática] 0 [/ matemática] o [matemática] 1 [/ matemática] cuando se divide entre cuatro, por lo que una diferencia de cuadrados solo puede estar a distancia como máximo [matemática] 1 [/ matemática] de un múltiplo de cuatro.

Answer 2

[matemática] N [/ matemática] es una diferencia de dos cuadrados [matemática] <=> [/ matemática] [matemática] N [/ matemática] es impar o un múltiplo de 4

Podemos simplificar la dirección hacia adelante haciendo que [matemática] a [/ matemática] sea la diferencia entre los dos números al cuadrado, y [matemática] b [/ matemática] el menor de los dos números.

[matemáticas] N = (a + b) ^ 2 – b ^ 2 = a ^ 2 + 2ab [/ matemáticas]

Si [math] a [/ math] es impar, entonces [math] a ^ 2 [/ math] es impar pero [math] 2ab [/ math] es par, por lo tanto [math] N [/ math] es impar.

Si [matemática] a [/ matemática] es par, entonces [matemática] a ^ 2 [/ matemática] y [matemática] 2ab [/ matemática] son ​​múltiplos de 4, por lo tanto, [matemática] N [/ matemática] es un múltiplo de 4)

Por el contrario:

Si [matemática] N = 2n + 1 [/ matemática] para alguna [matemática] n [/ matemática], entonces [matemática] (n + 1) ^ 2 – n ^ 2 = 2n +1 = N [/ matemática].

Si [matemática] N = 4n [/ matemática] para algunos [matemática] n [/ matemática], entonces [matemática] (n + 1) ^ 2 – (n-1) ^ 2 = 4n = N [/ matemática].

Answer 3

Si. Esto es equivalente a encontrar todos los números [matemática] a [/ matemática] que son patas de un triángulo rectángulo con valores enteros. Esto se debe al teorema de Pitágoras, que da [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 [/ matemáticas].

Hay una agradable parametrización para los llamados triples pitagóricos, que se remontan a Euclides. Deberías mirar aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/Pyt …

Answer 4

Me parece que cualquier número par que no sea múltiplo de 4 no puede ser la diferencia de dos cuadrados enteros, mientras que cualquier otro número entero puede serlo. Considere la secuencia de cuadrados enteros:

0, 1, 4, 9, 16, 25 …

Si observamos la diferencia de cuadrados consecutivos, obtenemos [matemáticas] (n + 1) ^ 2 – n ^ 2 = n ^ 2 + 2n +1 – n ^ 2 = 2n + 1 [/ matemáticas], que es el secuencia de enteros impares positivos. Entonces, cada entero impar positivo es una diferencia de cuadrados.

¿Qué pasa con los pares? Bueno, [matemáticas] (n + 2) ^ 2 – n ^ 2 = n ^ 2 + 4n + 4 – n ^ 2 = 4n +4 [/ matemáticas], que es la secuencia de múltiplos positivos de 4.

No necesitamos mirar la secuencia de [matemáticas] (n + 3) ^ 2 – n ^ 2 [/ matemáticas] porque, dado que los números primos enteros alternan entre pares e impares, todos serán impares, y ya mostró que cada entero impar positivo es una diferencia de cuadrados. Lo mismo aplica para cualquier [matemática] (n + a) ^ 2 – n ^ 2 [/ matemática] para impar [matemática] a [/ matemática].

¿Qué pasa con [matemáticas] (n + a) ^ 2 – n ^ 2 [/ matemáticas] para incluso [matemáticas] a [/ matemáticas]? Bueno, [matemáticas] (n + a) ^ 2 – n ^ 2 = n ^ 2 + 2an + a ^ 2 – n ^ 2 = 2an + a ^ 2 [/ matemáticas]. Como sabemos que [math] a [/ math] es par, sabemos que 4 es un factor de [math] 2an [/ math] y [math] a ^ 2 [/ math]. Por lo tanto, todos estos números ya estaban cubiertos por [matemáticas] a = 2 [/ matemáticas].

Por lo tanto, todos los enteros impares positivos y todos los múltiplos enteros positivos de 4 son representables como una diferencia de cuadrados enteros, y todos los enteros pares positivos que no son múltiplos de 4 no lo son. Cero, por supuesto, es representable como cualquier cuadrado entero menos él mismo. Por lo tanto, los únicos enteros positivos que no pueden representarse como una diferencia de cuadrados enteros son números pares que no son múltiplos de 4.

Los mismos argumentos se aplican a los enteros negativos, ya que [matemáticas] b – a = -1 (a -b) [/ matemáticas].

Answer 5

Deje x e y ser enteros positivos. Deje q sea el número en cuestión. Q puede escribirse como x ^ 2-y ^ 2 bajo algunas condiciones. Veamos x ^ 2-y ^ 2 por un minuto. Si factorizamos esta expresión, obtenemos (x + y) (xy) = q. Cada uno de esos es entonces un factor de q. Llamaremos a estos dos factores (los dos que están emparejados) factores complementarios. Si x se muestra en una recta numérica, entonces x más y serán unidades y a la derecha de x. X menos y serán y unidades a la izquierda de x. Esto significa que conectando x más y a x menos y, x es el punto medio. Esto es importante porque significa que la diferencia entre x más y y x menos y es 2y, ¿verdad? La diferencia, entonces, es pareja. En conclusión, cualquier número q puede representarse como la diferencia de cuadrados si y solo si uno de sus pares de factores tiene una diferencia que es par. Algunas investigaciones revelan algunas cosas: todos los cuadrados perfectos siguen la regla. Todos los números impares positivos siguen la regla.

Answer 6

Depende de si está preguntando por cuadrados consecutivos o no consecutivos y enteros pares o impares.

• Consecutiva : cada número impar es la diferencia de dos cuadrados.
• No consecutivos : Ningún primo puede ser la diferencia de dos cuadrados que no son consecutivos. Por ejemplo:

Además, aproximadamente la mitad de los cuadrados impares no se pueden representar como la diferencia de dos cuadrados no consecutivos.

Pruebas o fórmulas: no las tengo. Solo algoritmos y evidencia empírica. Hay sorprendentemente poca discusión por ahí sobre las propiedades no consecutivas de cuadrados y enteros.

Answer 7

0 ^ 2 es un cuadrado perfecto: Total de casos válidos – 35
0 ^ 2 es un cuadrado no perfecto: Total de casos válidos – 38
Una salida generada por computadora está disponible en http://www.careerbless.com/aptitude/qa/numbers.php

Answer 8

Podemos construir sobre la fórmula básica (ab) (a + b) solo de esta manera. 2.2 (ab) (a + b)