¿Cómo se puede integrar (x ^ 2 + 2x +2) ^ 0.5?

Answer 1

Digamos, [matemáticas] \ displaystyle I = \ int (x ^ 2 + 2x + 2) ^ {\ frac {1} {2}} dx = \ int \ left ((x + 1) ^ 2 + 1 \ right) ^ {\ frac {1} {2}} dx [/ matemáticas]

Deje [math] \ displaystyle x + 1 = \ tan (\ theta) [/ math] para [math] \ theta \ in \ left (- \ frac {\ pi} {2} \,, \, \ frac {\ pi} {2} \ right) [/ math]

Esta sustitución es continuamente diferenciable y, por lo tanto, legítima de realizar como en el intervalo [matemáticas] \ left (- \ frac {\ pi} {2} \,, \, \ frac {\ pi} {2} \ right) [/ matemáticas ], [matemática] \ tan (\ theta) [/ matemática] tiene derivada continua .

Como [matemáticas] \ displaystyle x + 1 = \ tan (\ theta) \ implica dx = \ sec ^ {2} (\ theta) \, d \ theta [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle I = \ int (\ tan ^ {2} (\ theta) + 1) ^ {\ frac {1} {2}} \ sec ^ {2} (\ theta) \, d \ theta = \ int \ sec ^ {3} (\ theta) \, d \ theta = \ int \ sec (\ theta) \ cdot \ sec ^ {2} (\ theta) \, d \ theta [/ math]

Integrando por partes,

[matemáticas] \ displaystyle I = \ sec (\ theta) \ tan (\ theta) – \ int \ sec (\ theta) \ tan (\ theta) \ tan (\ theta) \, d \ theta = \ sec (\ theta) \ tan (\ theta) – \ int \ sec (\ theta) \ tan ^ 2 (\ theta) \, d \ theta [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ sec (\ theta) \ tan (\ theta) – \ int \ sec (\ theta) \ left (\ sec ^ 2 (\ theta) -1 \ right) \, d \ theta [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ sec (\ theta) \ tan (\ theta) – \ int \ sec ^ 3 (\ theta) \, d \ theta + \ int \ sec (\ theta) \, d \ theta [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ sec (\ theta) \ tan (\ theta) – I + \ int \ sec (\ theta) \, d \ theta [/ math]

Por lo tanto, [math] \ displaystyle 2I = \ sec (\ theta) \ tan (\ theta) + \ log | \ tan (\ theta) + \ sec (\ theta) | [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle I = \ frac {\ sec (\ theta) \ tan (\ theta)} {2} + \ frac {\ log | \ tan (\ theta) + \ sec (\ theta) |} {2 } + c [/ matemáticas]

Como, [math] \ displaystyle \ tan (\ theta) = x + 1. [/ math] Entonces, [math] \ sec (\ theta) = \ sqrt {1+ \ tan ^ {2} (\ theta)} = \ sqrt {x ^ 2 + 2x + 2} [/ matemáticas]

Por lo tanto,

[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {I = \ frac {(x + 1) \ cdot \ sqrt {x ^ 2 + 2x + 2}} {2} + \ frac {\ log | x + 1 + \ sqrt {x ^ 2 + 2x + 2} |} {2} + c} [/ matemáticas]

Answer 2

Una buena manera de integrar [matemáticas] (2x ^ 2 – x) ^ 2 \ cdot x ^ {0.5} [/ matemáticas] es hacer algo de manipulación algebraica expandiendo el término “cuadrado”:

[matemáticas] (2x ^ 2 – x) ^ 2 = 4x ^ 4 -4x ^ 3 + x ^ 2 [/ matemáticas]

Lo que significa que la integral se expandiría a:

[matemáticas] (4x ^ 4 -4x ^ 3 + x ^ 2) x ^ {0.5} [/ matemáticas]

Luego, multiplica el término [math] x ^ {0.5} [/ math] entre paréntesis:

[matemáticas] 4x ^ {4.5} – 4x ^ {3.5} + x ^ {2.5} [/ matemáticas]

Y finalmente:

[matemáticas] \ int 4x ^ {4.5} – 4x ^ {3.5} + x ^ {2.5} dx = \ frac {4x ^ {5.5}} {5.5} – \ frac {4x ^ {4.5}} {4.5} + \ frac {x ^ {3.5}} {3.5} [/ matemáticas]

Answer 3

¿Cómo se puede integrar [matemáticas] (x ^ 2 + 2x + 2) ^ {0.5} [/ matemáticas]?

[matemáticas] \ int \ sqrt {x ^ 2 + 2x + 2} dx = \ int \ sqrt {1+ (x + 1) ^ 2 + 1} dx [/ matemáticas]
Use la sustitución [math] \ sinh (Y) = (x + 1) [/ math], por lo tanto [math] \ cosh (Y) dY = dx [/ math]

[matemáticas] \ int \ sqrt {\ sinh ^ 2 (Y) +1} \ cosh (Y) dy = \ int \ sqrt {\ cosh ^ 2 (Y)} \ cosh (Y) dY = \ int \ cosh ^ 2 (Y) dy = \ int \ frac {1} {2} + \ frac {1} {2} \ cosh (2Y) dy = \ frac {Y} {2} + \ frac {1} {4} \ sinh (2Y) + c = \ frac {Y} {2} + \ frac {1} {2} \ sinh (Y) \ cosh (Y) + c [/ math]

Revertir la sustitución,

[matemáticas] \ frac {1} {2} \ sinh ^ {- 1} (x + 1) + \ frac {1} {2} (x + 1) \ sqrt {x ^ 2 + 2x + 2} + c [/matemáticas]