Una buena manera de entender el propósito de los logaritmos es verlos en relación con las otras operaciones comunes de álgebra [1].
En álgebra, hay tres operaciones básicas [2] – suma, multiplicación y exponenciación – que, en términos de tres cantidades a , byc , se pueden expresar de la siguiente manera:
Adición:
[matemáticas] a = b + c [/ matemáticas]
Multiplicación:
[matemáticas] a = bc [/ matemáticas]
Exponenciación:
[matemáticas] a = b ^ c [/ matemáticas]
Ahora juguemos al juego ‘dos de tres’: en cada una de las expresiones iniciales anteriores, asumiremos que conocemos la cantidad en el lado izquierdo y una de las cantidades en el lado derecho, y queremos encuentre el valor de la cantidad restante desconocida en el lado derecho. Para hacer esto, tenemos que introducir las operaciones inversas a cada una de las anteriores (es decir, la operación que deshace la acción de la operación original de alguna manera).
Resta (el inverso de la suma):
Tenemos eso
[matemáticas] a = b + c. [/ matemáticas]
Si conocemos a y c, pero queremos saber b , restamos c de ambos lados:
[matemáticas] a – c = b + c – c = b [/ matemáticas]
Entonces
[matemáticas] b = a – c. [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que esta situación es simétrica ; si conocemos a y b, pero queremos saber c , restamos b de ambos lados:
[matemáticas] a – b = b + c – b = c. [/ matemáticas]
Entonces
[matemáticas] c = a – b. [/ matemáticas]
División (el inverso de la multiplicación):
Tenemos eso
[matemáticas] a = bc. [/ matemáticas]
Si conocemos a y c, pero queremos saber b , dividimos ambos lados entre c :
[matemáticas] a / c = bc / c = b. [/ matemáticas]
Entonces
[matemáticas] b = a / c. [/ matemáticas]
Y observe que esta situación también es simétrica; si conocemos a y b pero queremos saber c , dividimos ambos lados por b :
[matemáticas] a / b = bc / b = c. [/ matemáticas]
Entonces
[matemáticas] c = a / b. [/ matemáticas]
[3]
‘Tomando raíces’ (el inverso de la exponenciación, bueno, la mitad de la historia de todos modos):
Tenemos eso
[matemáticas] a = b ^ c. [/ matemáticas]
Si conocemos a y c , pero queremos saber b , tomamos la raíz c-ésima de ambos lados:
[matemáticas] a ^ {1 / c} = (b ^ c) ^ {1 / c} = b ^ {c / c} = b ^ 1 = b [/ matemáticas]
Entonces
[matemáticas] b = a ^ {1 / c} [/ matemáticas]
Entonces podríamos preguntarnos si esta situación también es simétrica, como lo son la resta y la división: si conocemos a y b , pero queremos saber c , ¿podemos simplemente tomar la raíz b-ésima de ambos lados? No, no podemos! [4] Esto solo dará la respuesta correcta en el caso excepcional donde b = c (porque entonces podemos intercambiar los roles de byc sin cambiar el valor de a ).
Entonces, si conocemos a y b, pero queremos encontrar c , ¿qué hacemos? Respuesta: tomamos el logaritmo , a la base b , de ambos lados:
[matemáticas] log_b (a) = log_b (b ^ c) = c [/ matemáticas]
Entonces
[matemáticas] c = log_b (a) [/ matemáticas]. [5]
El equilibrio del universo se restablece: con exponenciación, ahora no solo podemos encontrar la cantidad exponencial (tomando raíces) sino también el exponente (tomando logaritmos).
Pero, claramente, la exponenciación sigue siendo un tipo de operación muy diferente, de alguna manera esencial, de la suma y la multiplicación; con las dos últimas operaciones, podemos realizar el mismo tipo de operación inversa independientemente de si queremos encontrar b o c , pero con exponenciación necesitamos realizar diferentes operaciones inversas dependiendo de si queremos encontrar b o c .
Notas al pie:
[1] Quizás debería decir ‘álgebra aritmética ‘, que significa el tipo de álgebra donde las letras típicamente representan meros números , en lugar de las entidades matemáticas más complejas y abstractas encontradas en los numerosos tipos de álgebra abstracta .
[2] Bien, en realidad hay una cuarta operación en álgebra, llamada tetración (la clave está en el nombre: tetra = cuatro / cuarto), pero esto es bastante marginal y es poco probable que lo encuentres en aplicaciones de álgebra de variedades de jardín.
[3] Supongo que debería incluir el descargo de responsabilidad habitual de que la división solo es significativa si el divisor (el número en la parte inferior) no es cero.
[4] Si dudas de este hecho, prueba un ejemplo simple:
[matemáticas] 8 = 2 ^ 3. [/ matemáticas]
Entonces
[matemáticas] 8 ^ {1/3} = 2. [/ matemáticas]
Pero
[matemáticas] 8 ^ {1/2} = 2.828427… [/ matemáticas]
es decir, no 3!
[5] Si realmente quieres calcular el valor de un logaritmo en una base arbitraria b usando una calculadora de bolsillo, inicialmente podrías quedar perplejo, porque la mayoría de las calculadoras solo tendrán funciones para calcular logaritmos naturales (o naperianos ), es decir, logaritmos a base e, y quizás también logaritmos a la base 10. Pero no se preocupe, hay una regla ingeniosa que le permite convertir logaritmos en una base arbitraria en una expresión usando logaritmos en una base ‘estándar’ que su calculadora puede manejar (y el La elección habitual para la base estándar es e) .
Esta regla utiliza el hecho de que, para cualquier base by variable a ,
[matemáticas] log_b (b ^ a) = b ^ {log_b (a)} = a, [/ matemáticas]
que llamaremos ecuación (0), y también que
[matemáticas] (b ^ {log_b (a)}) ^ c = b ^ {c.log_b (a)}, [/ matemáticas]
que llamaremos ecuación (1). La segunda regla funciona porque los exponentes viajan , es decir, su orden no importa:
[matemáticas] (x ^ y) ^ z = x ^ {yz} = x ^ {zy} = (x ^ z) ^ y [/ matemáticas]
(que llamaremos ecuación (2)) para cualquier x , y y z , donde en la expresión de logaritmo (1) anterior tenemos
[matemáticas] x = b, [/ matemáticas]
[matemáticas] y = log_b (a) [/ matemáticas]
y
[matemáticas] z = c. [/ matemáticas]
Entonces, sabemos que si queremos resolver
[matemáticas] a = b ^ c [/ matemáticas]
para c , podemos tomar el logaritmo a la base b de ambos lados:
[matemáticas] log_b (a) = c. [/ matemáticas]
Esta es la ecuación (3).
Pero podemos reescribir la primera relación usando la propiedad (1) anterior, donde usaremos el logaritmo para basar e , convencionalmente escrito ln , como nuestro logaritmo estándar:
[matemáticas] b = e ^ {ln (b)} [/ matemáticas]
Entonces
[matemáticas] b ^ c = (e ^ {ln (b)}) ^ c = e ^ {c.ln (b)} [/ matemáticas]
utilizando la propiedad (2) anterior.
Ahora tomamos logaritmos de ambos lados, como antes, pero para basar e esta vez:
[matemáticas] ln (a) = ln (e ^ {c.ln (b)}) = c.ln (b), [/ matemáticas]
usando la ecuación (0) anterior. Como queremos encontrar c, dividimos ambos lados por ln (b) :
[matemáticas] ln (a) / ln (b) = c. [/ matemáticas]
Sustituyendo
[matemáticas] c = log_b (a) [/ matemáticas]
de (3) arriba, obtenemos
[matemáticas] log_b (a) = ln (a) / ln (b). [/ matemáticas]
Entonces, para encontrar el logaritmo de a en una base arbitraria b , simplemente podemos encontrar los logaritmos naturales de a y b (que su calculadora puede manejar) y luego dividir el primero por el segundo.
