¿Por qué [math] \ log x + \ log y = \ log (x \ times y) [/ math]?

Answer 1

Proporcionaré una respuesta solo con el logaritmo natural, en lo sucesivo denotado por [math] \ ln (x). [/ math] La definición que usaré es “El logaritmo natural de un número [math] x [/ math] mayor que 1 es el área debajo de la curva [math] 1 / t [/ math] entre los valores [math ] t = 1 [/ math] y [math] t = x [/ math] en el eje [math] t [/ math] “. La ecuación representativa es

[matemáticas] \ ln (x) = \ int_1 ^ x \ frac {dt} {t}. [/matemáticas]

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El enlace es una representación de baja tecnología de [math] \ ln (e) [/ math], que define el número [math] e [/ math] como el número único que hace que esa área sea igual a 1. Si imaginas el segundo la línea vertical se mueve a cualquier valor [matemático] x [/ matemático] mayor que 1, entonces puede imaginar el logaritmo natural. La variable [math] t [/ math] en el lado derecho es una “variable ficticia”, lo que significa que puede reemplazarse por cualquier letra y seguir teniendo el mismo significado.

Deje que [math] y [/ math] sea otro número mayor que 1 y fije el valor anterior [math] x [/ math] para que sea constante. La variable ficticia que elegiré a continuación será [math] s = t / x [/ math] y [math] t [/ math] será la variable ficticia principal. Dado que el logaritmo de [math] y [/ math] es el área debajo de [math] 1 / s [/ math] entre [math] s = 1 [/ math] y [math] s = y [/ math], también es igual al área debajo de [matemática] 1 / (t / x) = x / t [/ matemática] entre [matemática] t = x [/ matemática] y [matemática] t = xy [/ matemática] correspondiente a la valores de [matemática] s = 1, y [/ matemática] respectivamente. Si piensa en [math] ds [/ math] como el cambio en [math] s [/ math], entonces cambia tanto como [math] t [/ math], excepto que lleva un [math] 1 / x [/ math] factor junto con él. Entonces [math] ds = dt / x [/ math] porque [math] x [/ math] es constante. Esta es una forma de sustitución.

[matemáticas] \ ln (y) = \ int_1 ^ y \ frac {ds} {s} = \ int_x ^ {xy} \ frac {dt} {x} \ cdot \ frac {x} {t} = \ int_x ^ {xy} \ frac {dt} {t}. [/ math]

He trabajado con la definición porque ahora sumar dos logaritmos se vuelve simple.
[matemáticas] \ ln (x) + \ ln (y) = \ int_1 ^ x \ frac {dt} {t} + \ int_1 ^ y \ frac {ds} {s} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ int_1 ^ {x} \ frac {dt} {t} + \ int_x ^ {xy} \ frac {dt} {t}. [/matemáticas]
La última parte es si sumamos las áreas entre [matemáticas] t = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] t = x [/ matemáticas] con el área entre [matemáticas] t = x [/ matemáticas] y [matemáticas] t = xy [/ math], entonces esto es igual a la suma de [math] t = 1 [/ math] y [math] t = xy [/ math] sin parar
[matemáticas] \ ln (x) + \ ln (y) = \ int_1 ^ {xy} \ frac {dt} {t} = \ ln (xy). [/matemáticas]

Answer 2

Porque estamos en una escala exponencial aquí.

Tomemos la base 2, una actividad como una bacteria que duplica la población cada 30 minutos, o duplica su dinero en una apuesta de juego cada vez durante una racha ganadora.

¿Cuántas apuestas se necesitan para multiplicar su dinero por 32, suponiendo que gane cada vez? Cinco, porque 2 ^ 5 = 32, log (32) = 5. Es una cuestión de cuántas veces tienes que multiplicar por 2 para llegar a 32. Puedes agruparlo en series de 1 apuesta (X2) y 4 apuestas (X16) (log (2) + log (16) = 1 + 4 = 5), podría agruparlo en conjuntos de 2 apuestas (X4) y 3 apuestas (X8) (log (4) + log (8) = 2 + 3 = 5), y así sucesivamente.

En realidad, esto no prueba nada, pero tal vez ayuda a visualizarlo, solo estás contando cuántas veces se tarda en multiplicar algo para obtener un resultado, por lo que esta fórmula solo describe dividirlo en dos suboperaciones.

Answer 3

Debido a que se necesita una [matemática] \ color {verde} {\ textbf {tiempo de duplicación}} [/ matemática] más una [matemática] \ color {azul} {\ textbf {tiempo de triplicación}} [/ matemática] para hacer que algo crezca [matemáticas] \ color {rojo} {\ textbf {seis veces}} [/ matemáticas].

Supongamos que tenemos un factor de crecimiento exponencial [matemática] b [/ matemática].

• Entonces [math] \ color {green} {\ bf {\ log_b (2})} [/ math] es el [math] \ color {green} {\ textbf {tiempo de duplicación}} [/ math].
• Y [math] \ color {blue} {\ bf {\ log_b (3})} [/ math] es [math] \ color {blue} {\ textbf {tripling time}} [/ math].

Supongamos que sumamos estos dos intervalos de tiempo. Entonces en la primera parte todo se duplica, y en la segunda parte todo se triplica. Luego, a lo largo del curso de tiempo completo, todo se multiplica por seis.

Por lo tanto, una [matemática] \ color {verde} {\ textbf {tiempo de duplicación}} [/ matemática] más una [matemática] \ color {azul} {\ textbf {tiempo de triplicación}} [/ matemática] es una [matemática] \ color {rojo} {\ textbf {tiempo de seis veces}} [/ math]

O en una fórmula:
[matemáticas] \ color {verde} {\ bf {\ log_b (2})} + \ color {azul} {\ bf {\ log_b (3})} = \ log_b (\ color {verde} {\ bf {2 }} \ cdot \ color {blue} {\ bf {3}}) = \ color {red} {\ bf {\ log_b (6)}} [/ math]

O en general:
[matemáticas] \ log_b (\ color {green} {\ bf {x}} \ cdot \ color {blue} {\ bf {y}}) = \ log_b (\ color {green} {\ bf {x}}) + \ log_b (\ color {blue} {\ bf {y}}) [/ math]

Answer 4

Ayer escribí una respuesta precisamente sobre esto: la respuesta de Paco Adajar a ¿Por qué log x – log y = log (x / y)?

Lo expondré un poco (bueno, mucho) más aquí. La mayoría de las personas que veo tratan el logaritmo como un inverso a un exponencial, que de ninguna manera es incorrecto. Sin embargo, para que este tratamiento sea un poco más riguroso, debemos tener una base de lo que realmente es un exponencial.

Es fácil comenzar con una definición de exponenciación como multiplicación iterada. Esto funciona, obviamente, para exponentes enteros. Podemos extender entonces a exponentes fraccionarios con la noción de enésimas raíces. No hay problemas aquí: el teorema del valor intermedio garantiza que para cualquier [matemática] n \ in \ mathbb {N} [/ matemática] y [matemática] k> 0 [/ matemática], podemos encontrar una solución positiva para [matemática] x ^ n = k [/ matemáticas].

¿Cómo, entonces, tratamos los exponentes irracionales? Una solución, por supuesto, es explotar el hecho de que los racionales son densos en [math] \ mathbb {R} [/ math], es decir, para cada número real [math] x [/ math] hay una secuencia de racionales [matemática] \ {x_n \} _ {n = 1} ^ {\ infty} [/ matemática] que converge a ella. (Tales secuencias, además, son fácilmente construibles; una secuencia posible es [matemática] x_n [/ matemática] que es la representación decimal de [matemática] x [/ matemática] a [matemática] n [/ matemática] lugares decimales). No es difícil mostrar que para cualquier [matemática] b> 0 [/ matemática], [matemática] b ^ {x_n} [/ matemática] converge en algún límite.

Ese límite es lo que denominamos [matemáticas] b ^ x [/ matemáticas], y ahora tenemos una definición de un exponencial que se extiende a todos los exponentes reales [matemáticas] x [/ matemáticas], es consistente con la definición de [ math] x \ in \ mathbb {Q} [/ math], y además, es continuo, monótono y toma cada número real positivo como valor para [math] b \ ne 1 [/ math]; tenemos, si [math] f_b (x) = b ^ x [/ math] como se define, entonces [math] f (\ mathbb {R}) = \ mathbb {R} ^ + [/ math].

Por lo tanto, dada cualquier base [matemática] b> 0, b \ ne 1 [/ matemática], podemos construir una función inversa [matemática] f ^ {- 1} _b (x): \ mathbb {R} ^ + \ to \ mathbb {R} [/ math] satisfaciendo [math] f ^ {- 1} _b (f_b (x)) = x [/ math]. Esta función inversa es continua y monótona también. Además, en realidad podemos definir explícitamente este inverso en términos del supremum. Si [math] b> 1 [/ math] podemos escribir
[matemáticas] f ^ {- 1} _b (x) = \ sup \ {q \ in \ mathbb {Q}: b ^ q (Sigue una definición similar para [matemática] b <1 [/ matemática], reemplazando [matemática] b ^ q x [/ matemática].) Es un buen ejercicio para verificar que, de hecho, esta definición de [matemáticas] f ^ {- 1} _b [/ matemáticas] nos da un inverso para [matemáticas] f_b [/ matemáticas] y, además, [matemáticas] f ^ {- 1} _b ( x) + f ^ {- 1} (y) = f ^ {- 1} (xy) [/ math] para todos [math] x, y> 0 [/ math]. Esta [matemática] f ^ {- 1} _b [/ matemática] es de hecho nuestra [matemática] \ log_b {x} [/ matemática].

Answer 5

Deje x = log (ab)
y = log (a)
z = log (b)
Como la base del registro es 10

10 ^ x = ab
10 ^ y = a
10 ^ z = b

Ahora,

10 ^ x = a × b
10 ^ x = 10 ^ y × 10 ^ z
10 ^ x = 10 ^ (y + z)
x = y + z

es decir
Log (ab) = log (a) + log (b)

Answer 6

Porque el logaritmo deshace la exponenciación, y

[matemáticas] \ underbrace {bbbbb} _ {b ^ 5} \ cdot \ underbrace {bbb} _ {b ^ 3} = \ underbrace {bbbbb \ cdot bbb} _ {b ^ 8} [/ math]

. Sustituya [matemática] 5 [/ matemática] y [matemática] 3 [/ matemática] por cualquier [matemática] x, y [/ matemática] antigua y funcionaría lo mismo.

Para una explicación más profunda, vea esto: Lee Lady: Cálculo para la persona inteligente

En un sentido más amplio, cualquier función diferenciable [matemática] L [/ matemática] con [matemática] L ‘(x) = {\ mathrm {const} \ over x} [/ matemática] debería tener esta propiedad, y adicionalmente [ math] \ mathrm {const} = L ‘(1) = 0 [/ math] por otros motivos.

Answer 7

El problema dado es mostrar por qué log x + log y = log (xy). Dado que la designación matemática “log” sin una base específica se entiende que significa un logaritmo común o, en otras palabras, un logaritmo a la base 10, nos encargaremos de probar la propiedad logarítmica dada: log x + log y = log (xy) para cualquier base legítima “a”, donde a> 0 y a ≠ 1, no solo para la base a = 10; por lo tanto, para que no haya malentendidos, tomaremos una licencia aquí reemplazando log x con logₐ x, reemplazando log y con logₐ y, y reemplazando log (xy) con logₐ (xy).

Al hacer los reemplazos menores anteriores y la aclaración resultante, ahora mostraremos por qué logₐ x + logₐ y = logₐ (xy), que es una propiedad logarítmica que dice que la suma de los logaritmos de dos números positivos, x e y , es igual al logaritmo de su producto, xy.

En primer lugar, los logaritmos son exponentes por definición. Ahora, con ese hecho en mente, consideremos el significado de las designaciones: logₐ x, logₐ y, y logₐ (xy). “Logₐ x” es la potencia (exponente) a la que debo elevar el número “a” (a> 0 y a ≠ 1) para obtener el número x; “Logₐ y” es la potencia (exponente) a la que debo elevar el número “a” para obtener el número y, y “logₐ (xy)” es la potencia (exponente) a la que debo elevar el número “a” “Para obtener el número xy.

Ahora, sea m = logₐ x y sea n = logₐ y, donde x e y son números reales positivos y m y n son números reales.

Dado que los logaritmos son exponentes y por la definición de un logaritmo, las dos declaraciones logarítmicas, m = logₐ x y n = logₐ y, pueden reescribirse en la forma exponencial equivalente:

x = aᵐ e y = aⁿ.

Ahora, consideremos el producto xy de la siguiente manera:

xy = aᵐaⁿ
xy = a ^ (m + n) por la propiedad “exponente de dos potencias” de los exponentes,
es decir, (bᵐ) (bⁿ) = b ^ (m + n), donde “b” es un número real positivo y
myn son cualquier número real.

Ahora, por la definición de un logaritmo, la última ecuación se puede reescribir en la forma logarítmica equivalente:

logₐ (xy) = m + n

Sustituyendo en el lado derecho myn, tenemos:

logₐ (xy) = logₐ x + logₐ y

Como la igualdad es simétrica, es decir, si a = b, entonces b = a, tenemos el resultado final deseado y la conclusión:

logₐ x + logₐ y = logₐ (xy)

Answer 8

Debido a que los logaritmos son exponentes de alguna constante, la base del logaritmo. Como tal, deben comportarse como exponentes. En aras de la brevedad, elija e para la base, aunque funciona para cualquier otra base. Dejemos que x e y sean reales positivos, aunque la prueba también debería ser válida para números complejos:

x = e ^ ln x, y = e ^ ln y (es decir, ln x e ln y son exponentes de e. & Exp y ln son funciones inversas)

x * y = e ^ ln x * e ^ ln y = e ^ (ln x + ln y). (ley para sumar exponentes)

x * y = e ^ ln (x * y), (funciones inversas)

e ^ (ln x + ln y) = e ^ ln (x * y) (rhs y lhs ambos = x * y)

Tome el ln de ambos lados y:

ln x + ln y = ln (x * y).

Para hacer la prueba anterior, creo que no he usado nada más que el hecho de que ln () y exp () son funciones inversas y la regla para agregar exponentes. Entonces, la propiedad de ln () que buscamos se ‘hereda’ de las propiedades algebraicas de los exponentes y la definición fundamental de ln y exp.

Answer 9

Porque si tomas la exponencial en ambos lados obtienes [matemática] 10 ^ {\ log (x) + \ log (y)} = 10 ^ {\ log (xy)} [/ matemática]. El lado izquierdo nos da [matemáticas] 10 ^ {\ log (x)} \ cdot 10 ^ {\ log (y)} = x \ cdot y [/ matemáticas] y el lado derecho nos da [matemáticas] 10 ^ {\ log (xy)} = x \ cdot y [/ math]. Entonces, simplemente se reduce a la regla del producto de exponenciales, que [matemáticas] 10 ^ a \ cdot 10 ^ b = 10 ^ {a + b} [/ matemáticas]. Acabo de elegir el exponencial 10 por simplicidad, pero también es válido para el exponencial natural o cualquier otro exponencial para el caso.

Answer 10

El logaritmo de un número exponencial da la potencia. Cuando se multiplican dos números, las potencias se suman. El poder del producto es la suma de los poderes de los números individuales. Por lo tanto, el logaritmo de un producto es la suma del logaritmo de los números individuales.

Answer 11

Recuerde: si [math] a = \ log {2} [/ math], entonces [math] 10 ^ a = 2 [/ math]. Entonces, si [math] b = \ log {3} [/ math], entonces [math] 10 ^ b = 3 [/ math]. Ahora si [math] c = \ log {(2 \ times 3)} [/ math], entonces [math] 10 ^ c = 2 \ times 3 = 10 ^ a \ times 10 ^ b = 10 ^ {a + b }[/matemáticas]. Esto debe significar que [math] c = a + b [/ math], o que [math] \ log {(2 \ times 3)} = \ log {2} + \ log {3} [/ math].

Answer 12

Por definición

[matemáticas] \ log_b (x) = y \ equiv b ^ y = x [/ matemáticas]

Por lo tanto

[matemáticas] z = \ log_b (x) + \ log_b (y) [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow b ^ z = b ^ {\ log_b (x) + \ log_b (y)} [/ math]

[math] \ Rightarrow b ^ z = b ^ {\ log_b (x)} \ times b ^ {\ log_b (y)} [/ math]

[math] \ Rightarrow b ^ z = x \ times y [/ math]

[math] \ Rightarrow z = \ log_b (xy) [/ math]

QED

Answer 13

La respuesta a esta pregunta es muy simple,

supongamos que,

x = e ^ a

similar,

y = e ^ b

muliply x e y obtenemos,

xy = e ^ a × e ^ b

xy = e ^ (a + b)

Ahora aplique el registro en ambos lados que obtenemos

(Nota: – La base del registro será e)

log (xy) = log (e) ^ (a + b)

Pero sabemos

log (a) ^ n = n log (a) y log (e) = 1

Por lo tanto,

log (xy) = (a + b) log (e)

log (xy) = a + b

ahora necesitamos el valor de a & b

x = e ^ a

después de aplicar el registro obtenemos

log x = log (e) ^ a

es decir

log x = un log (e)

log x = a

similar,

log y = b

pero tenemos

log (xy) = a + b

después de sustituir los valores de a & b en la ecuación anterior

log (xy) = log (x) + log (y)

por lo tanto demostrado

Answer 14

Primero definamos [math] \ log [/ math] de algo, y luego esta fórmula podría tener sentido con la ayuda de las leyes de índices.

La igualdad [matemáticas] b = a ^ c [/ matemáticas] es lo mismo que decir [matemáticas] c = \ log_a {b} [/ matemáticas]. Entonces [math] c [/ math] es el poder por el cual [math] a [/ math] es elevado para obtener [math] b [/ math]. O bien, [math] \ log_a {b} [/ math] es el poder por el que [math] a [/ math] se eleva para obtener [math] b [/ math].

Reescribamos esta idea como el equivalente:

[matemáticas] b = a ^ c \ Leftrightarrow c = \ log_a {b} [/ math].

Deje [math] \ log_a {x} = p [/ math]. Según la definición anterior, [matemáticas] x = a ^ p [/ matemáticas]. Del mismo modo, deje que [math] \ log_a {y} = q [/ math]. Por definición, [matemáticas] y = a ^ q [/ matemáticas]. [matemáticas] xy = a ^ pa ^ q = a ^ {p + q} [/ matemáticas] según las leyes de índices. Reescribiendo,

[matemáticas] xy = a ^ {(p + q)} [/ matemáticas].

Por definición,

[matemáticas] (p + q) = \ log_a {(xy)} [/ matemáticas].

Como [math] p = \ log_a {x} [/ math] y [math] q = \ log_a {y} [/ math], demostramos la relación anterior.

Answer 15

Como sabrán, log (N) = x puede interpretarse en 10 ^ x = N.

Entonces, dado log (A) = a; log (B) = b; sabemos que 10 ^ a = A y 10 ^ b = B.

A * B = 10 ^ (a + b), lo que significa log (A * B) = a + b = log (A) + log (B).

El punto clave es: a ^ x1 * a ^ x2 = a ^ (x1 + x2)

Answer 16

” Log ” solo permite:

x * y = X + Y donde * se convierte en +
x ^ n = n * X donde ^ se convierte en *
       
o degradar a un operador al costo del reemplazo f (x) = X.

Answer 17

Bien. Aquí hay una manera simple de demostrar por qué esto funciona.

Primero, recuerde la regla del producto: [matemáticas] {b} ^ {m} \ veces {b} ^ {n} = {b} ^ {m + n} [/ matemáticas].

Ahora, deje que [math] {b} ^ {m} = x [/ math] y [math] {b} ^ {n} = y [/ math].

Por lo tanto, [math] \ log_ {b} x = m [/ math] y [math] \ log_ {b} y = n [/ math].

Eso significa que [math] m + n = \ log_ {b} \ left (x \ right) + \ log_ {b} \ left (y \ right) [/ math].

Ahora, ¿qué es [matemáticas] xy [/ matemáticas]? Esto suena irrelevante, pero volverá, confía en mí.

Bueno, si [matemáticas] {b} ^ {m} = x [/ matemáticas] y [matemáticas] {b} ^ {n} = y [/ matemáticas], entonces [matemáticas] xy = {b} ^ {m} \ times {b} ^ {n} [/ math], que es igual a [math] {b} ^ {m + n} [/ math] por la regla del producto.

Ahora, tomando la expresión equivalente [math] \ log [/ math], obtenemos [math] \ log_ {b} \ left (xy \ right) = m + n [/ math].

Pero recuerde que anteriormente, encontramos que [math] m + n = \ log_ {b} \ left (x \ right) + \ log_ {b} \ left (y \ right) [/ math]. Por lo tanto, por sustitución, podemos decir que [matemática] \ log_ {b} \ left (x \ right) + \ log_ {b} \ left (y \ right) = \ log_ {b} \ left (xy \ right )[/matemáticas]!

Entonces sí, [matemáticas] \ log_ {b} \ left (x \ right) + \ log_ {b} \ left (y \ right) = \ log_ {b} \ left (xy \ right) [/ math].

Espero que esta forma simple de mostrar por qué estas dos cantidades son iguales te ayuden a entender por qué.

¡Feliz aprendizaje!

Answer 18

La prueba se basa en el hecho de que [matemáticas] b ^ pb ^ q = b ^ {p + q} [/ matemáticas] y [matemáticas] x = b ^ {\ log_b x} = \ log_b b ^ x [/ matemáticas ]

Entonces [math] \ displaystyle \ log_b (xy) = log_b (b ^ {\ log_b x} b ^ {\ log_b y}) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ log_b b ^ {\ log_b x + \ log_b y} [/ math]

[matemáticas] = \ log_b x + \ log_b y [/ matemáticas]

Answer 19

[matemáticas] log_b (x) + log_b (y) [/ matemáticas]

Deje [math] log_b (x) = a [/ math]

y [matemáticas] log_b (y) = c [/ matemáticas]

Como [matemáticas] log_b (x) = a [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow b ^ a = x [/ math]

y [matemáticas] log_b (y) = c [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow b ^ c = y [/ math]

[matemáticas] x \ veces y = b ^ a \ veces b ^ c = b ^ {a + c} [/ matemáticas]

[matemáticas] xy = b ^ {a + c} [/ matemáticas]

[matemáticas] log_b [/ matemáticas] ambos lados obtenemos:

[matemáticas] log_b (xy) = log_b (b ^ {a + c}) [/ matemáticas]

[matemáticas] log_b (b ^ {a + c}) = a + c [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow log_b (xy) = a + c [/ math]

[matemáticas] a = log_b (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] c = log_b (y) [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow log_b (xy) = log_b (x) + log_b (y) [/ math]

Answer 20

Sea [math] ln (x) = a [/ math]; Esto implica que [matemáticas] e ^ a = x [/ matemáticas]
y [matemáticas] ln (y) = b [/ matemáticas]; Esto implica que [matemáticas] e ^ b = y [/ matemáticas]

[matemáticas] ln (xy) = ln (e ^ a * e ^ b) [/ matemáticas] = [matemáticas] ln (e ^ {a + b}) = a + b [/ matemáticas] = [matemáticas] ln ( x) + ln (y) [/ matemáticas]