¿Por qué log x – log y = log (x / y)?

Answer 1

Aquí hay una respuesta motivada por la definición original del logaritmo natural (bueno, en lo que respecta a muchos textos de cálculo, de todos modos), y no invoca exponenciales de ninguna manera. De hecho, es suficiente mostrar que [math] \ log {a} + \ log {b} = \ log {ab} [/ math].

Ahora, la definición original de [math] \ log {x} [/ math] (algunos prefieren [math] \ ln {x} [/ math] pero en lo que a mí respecta, todos los logaritmos son iguales hasta un factor constante de todos modos, y que la base [matemática] e [/ matemática] es la original) viene dada por
[matemáticas] \ displaystyle \ log {x} = \ int_1 ^ x \! \ frac {1} {t} \, dt [/ math],
definido para [matemáticas] x> 0 [/ matemáticas].
Ahora tenemos
[matemáticas] \ log {a} + \ log {b} = \ int_1 ^ a \! \ frac {1} {t} \, dt + \ int_1 ^ b \! \ frac {1} {t} \, dt [/ math]
Para la segunda integral, haga sub [math] t = au, dt = a \, du [/ math] y obtenemos
[matemáticas] \ log {a} + \ log {b} = \ int_1 ^ a \! \ frac {1} {t} \, dt + \ int_ {a} ^ {ab} \! \ frac {1} {u} \, du [/ math]
[matemáticas] = \ int_1 ^ a \! \ frac {1} {t} \, dt + \ int_ {a} ^ {ab} \! \ frac {1} {t} \, dt [/ math]
[matemáticas] = \ int_1 ^ {ab} \! \ frac {1} {t} \, dt = \ log {ab} [/ math] como se desee.

La pregunta se sigue de allí.

Editar: por lo que Quora no admite el entorno \ align. Maldita sea. O incluso saltos de línea para el caso. Doble maldita sea.

Answer 2

No escribiré toda la demostración (puede encontrarla en casi todos los libros de texto), pero esto se debe esencialmente a las propiedades de la función exponencial.

[matemáticas] a ^ b / a ^ c = a ^ {bc} [/ matemáticas]

Answer 3

El problema dado es mostrar por qué log x – log y = log (x / y). Como “log” sin ninguna base designada puede entenderse que significa un logaritmo común o, en otras palabras, un logaritmo a la base 10, nos encargaremos de demostrar la propiedad logarítmica dada: log x – log y = log (x / y) para cualquier base legítima “a”, donde a> 0 y a ≠ 1, no solo para la base a = 10; por lo tanto, para que no haya malentendidos, tomaremos una licencia aquí reemplazando log x con logₐ x, reemplazando log y con logₐ y, y reemplazando log (x / y) con logₐ (x / y).

Al hacer los reemplazos menores anteriores y la aclaración resultante, ahora mostraremos por qué logₐ x – logₐ y = logₐ (x / y), que es una propiedad logarítmica que dice que la diferencia de los logaritmos de dos números positivos, x ey, es igual al logaritmo de su cociente, x / y.

En primer lugar, los logaritmos son exponentes por definición. Ahora, con ese hecho en mente, consideremos el significado de las designaciones: logₐ x, logₐ y, y logₐ (x / y). “Logₐx” es la potencia (exponente) a la que debo elevar el número “a” (a> 0 y a ≠ 1) para obtener el número x; “Logₐ y” es la potencia (exponente) a la que debo elevar el número “a” para obtener el número y, y “logₐ (x / y)” es la potencia (exponente) a la que debo elevar el número “A” para obtener el número x / y.

Ahora, sea m = logₐ x y sea n = logₐ y, donde x e y son números reales positivos y m y n son números reales.

Dado que los logaritmos son exponentes y por la definición de un logaritmo, las dos declaraciones logarítmicas, m = logₐ x y n = logₐ y, pueden reescribirse en la forma exponencial equivalente:

x = aᵐ e y = aⁿ.

Ahora, consideremos el cociente x / y de la siguiente manera:

x / y = aᵐ / aⁿ
x / y = a ^ (m – n) por la propiedad “cociente de dos potencias” de los exponentes,
es decir, (bᵐ) / (bⁿ) = b ^ (m – n), donde “b” es un número real positivo y
myn son cualquier número real.

Ahora, por la definición de un logaritmo, la última ecuación se puede reescribir en la forma logarítmica equivalente:

logₐ (x / y) = m – n

Sustituyendo en el lado derecho myn, tenemos:

logₐ (x / y) = logₐ x – logₐ y

Como la igualdad es simétrica, es decir, si a = b, entonces b = a, tenemos el resultado final deseado y la conclusión:

logₐ x – logₐ y = logₐ (x / y)

Answer 4

Si multiplicas a, iterativamente, b veces, obtienes

Pero, si divide un número de a, esto deshace lo que hizo porque la división es la operación inversa de la multiplicación. Entonces

O, básicamente, que el número de a (en total) es el número de veces que a se multiplica en el numerador menos el número en el denominador. Llamemos y

Pero el logaritmo de la base a da;

Pero como esto devuelve el exponente, podemos considerar cómo se suman los exponentes. Podemos agregarlos directamente de esta manera;

Pero desde;

Vemos que, dado que los exponentes suman si se multiplican dos números con la misma base y los logaritmos de la misma base solo revelan el exponente del argumento, que la suma de los exponentes significa que sus argumentos se multiplican.

Answer 5

Deje [math] \ text {log} (x) = a [/ math]; Esto implica que [matemáticas] e ^ a = x [/ matemáticas]
y [matemáticas] \ text {log} (y) = b [/ matemáticas]; Esto implica que [matemáticas] e ^ b = y [/ matemáticas]
[matemáticas] \ text {log} \ left (\ frac {x} {y} \ right) = \ text {log} \ left (\ frac {e ^ a} {e ^ b} \ right) [/ math] = [matemáticas] \ text {log} {e ^ {ab}} = ab [/ math] = [matemáticas] \ text {log} (x) – \ text {log (y)} [/ math]
Por lo tanto demostrado!

Answer 6

Aquí está el enlace donde puede encontrar su respuesta y también a otras propiedades logarítmicas.
Pruebas de propiedades de logaritmo (soluciones, ejemplos, juegos, videos)