Desafíos matemáticos: ¿Puedes probar o refutar que si [matemáticas] f (f (x)) = x ^ 2 + 1 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] f (x) \ aprox \ frac {(x ^ 2 + 1 ) ^ {\ sqrt {2}} + x ^ {2 \ sqrt {2}} – 1} {2x ^ {\ sqrt {2}}} [/ math]?

Answer 1

En realidad, hay muchas funciones de este tipo [matemáticas] f [/ matemáticas]. De hecho, para cualquier partición [matemática] P [/ matemática] del intervalo de unidad [matemática] [0, 1) [/ matemática] en pares ordenados [matemática] (a, b) [/ matemática], podemos definir
[matemáticas] f (x) = \ begin {cases} g ^ n (b), & \ text {if} (a, b) \ en P \ text {y} x = g ^ n (a), \\ g ^ {n + 1} (a), & \ text {if} (a, b) \ en P \ text {y} x = g ^ n (b), \ end {cases} [/ math]
donde [matemáticas] g (x) = x ^ 2 + 1 [/ matemáticas]. Lo máximo que podemos decir sobre una función general en esta familia es que está limitada entre [matemáticas] \ sqrt {x – 1} [/ matemáticas] y [matemáticas] x ^ 4 + 2x ^ 2 + 2 [/ matemáticas].

Pero el único “agradable” es el que tiene [matemáticas] f (x) \ sim x ^ {\ sqrt {2}} [/ matemáticas]. Tal función se define únicamente por
[matemáticas] f (x) = \ lim_ {n \ to \ infty} g ^ {- n} (g ^ n (x) ^ {\ sqrt 2}) [/ matemáticas].
De manera más general, una iteración fraccional [matemática] p [/ matemática] de [matemática] g [/ matemática] puede definirse por
[matemáticas] g ^ p (x) = \ lim_ {n \ to \ infty} g ^ {- n} (g ^ n (x) ^ {2 ^ p}) [/ matemáticas].
Así es como obtenemos el algoritmo de recuento de iteraciones normalizado para colorear continuamente el exterior del conjunto de Mandelbrot.

El error en la aproximación [matemática] n [/ matemática] es solo [matemática] O \ big (\ tfrac {1} {2 ^ n \ sqrt 2} x ^ {- 2 ^ {n + 1} + \ sqrt 2} \ bigr) [/ math]. Usando el teorema binomial generalizado, podemos elaborar una serie asintótica bastante misteriosa para [math] f [/ math]:
[matemáticas] f (x) = x ^ {\ sqrt 2} + \ frac {\ sqrt {2}} {2} x ^ {- 2 + \ sqrt 2} – \ frac12 x ^ {- \ sqrt 2} + \ frac14 x ^ {- 4 + \ sqrt 2} [/ math]
[matemáticas] {} + \ frac {\ sqrt 2} {4} x ^ {- 2 – \ sqrt 2} – \ frac38 x ^ {- 3 \ sqrt 2} – \ frac {7 \ sqrt 2} {24} x ^ {- 6 + \ sqrt 2} [/ math]
[matemáticas] {} – \ frac18 x ^ {- 4 – \ sqrt 2} + \ frac {9 \ sqrt 2} {16} x ^ {- 2 – 3 \ sqrt 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] {} + \ frac {-31 + 60 \ sqrt 2} {96} x ^ {- 8 + \ sqrt 2} – \ frac {3} {16} x ^ {- 5 \ sqrt 2} + \ cdots [/ math].
Esto concuerda con lo que escribió dentro de [matemáticas] O (x ^ {- 4 + \ sqrt 2}) [/ matemáticas].

Answer 2

¿A qué distancia pueden estar y seguir siendo “aproximadamente iguales”? ¿En qué intervalo se supone que son iguales?

Denotemos [matemáticas] G (x) = x ^ 2 + 1 [/ matemáticas].
En primer lugar, mientras que G está bien definido para todo x ; f no lo es, por lo que no pueden ser aproximadamente iguales en todos los reales.
En segundo lugar, para x grande vemos que f (x) se comporta aproximadamente como [math] \ frac {1} {2} x ^ \ sqrt {2} [/ math], y que – para estas x – tenemos que f ( x)> x. Por lo tanto, para x lo suficientemente grande, tenemos

[matemáticas] f (f (x)) \ aprox \ frac {(0.5x ^ {\ sqrt {2}}) ^ {\ sqrt {2}}} {2} = 2 ^ {- 1- \ sqrt {2 }} x ^ 2 [/ math], que se comporta de manera bastante diferente.

Entonces, a menos que tenga un intervalo especial para investigar más de cerca, diría que no son aproximadamente iguales en general.