¿Cómo visualizar / entender intuitivamente los tres teoremas de isomorfismo de grupo?

Answer 1

Primero, ofreceré una perspectiva: han pasado unos 15 años desde que hice algo remotamente parecido a las matemáticas serias. Pero antes de bajar de la cinta de correr matemática, hice que la cinta subiera completamente. Es decir, yo era un estudiante de matemáticas extremadamente entusiasta y al menos marginalmente talentoso. Yo, como tú, también aprendí la teoría de grupos primero por mi cuenta.

Cuando llegué a los teoremas del isomorfismo, los confundí y probablemente tuve la impresión de que lo haces ahora: los entiendo superficialmente , en el sentido de que veo cómo una declaración se sigue de la siguiente en cada prueba. Pero no los entendí .

A medida que seguía ocultándome de la teoría de grupos y el álgebra en general, digamos, después de un semestre o dos, probablemente ni siquiera podría establecer el segundo o tercer teorema del isomorfismo. Ciertamente no podría decirlos ahora. Pero me probé a mí mismo, y ahora que estoy sentado aquí después de 15 años de atrofia, pude afirmar y probar con precisión y sin esfuerzo el primer teorema del isomorfismo.

Entonces, no me preocuparía demasiado por los otros dos. Sabes cuándo necesitas usarlos, y eso es todo. No hay ninguna filosofía profunda al acecho en esos teoremas … al menos, no es que yo pudiera discernir.

En cuanto al primero, suponga que tiene un mapa [math] \ phi: G \ to H [/ math]. Piense en ese mapa como pintando una imagen de [matemáticas] G [/ matemáticas] dentro de [matemáticas] H [/ matemáticas]. Pero alguna información sobre [matemáticas] G [/ matemáticas] se pierde … esa información es [matemáticas] \ ker \ phi [/ matemáticas]. Pero hay otra forma de desechar información … si tiene un grupo [matemática] G [/ matemática] y un subgrupo [matemática] N [/ matemática], entonces el grupo del cociente [matemática] G / N [/ matemática] también es “Tirar” [matemática] N [/ matemática].

Piense en un ejemplo siempre útil: aritmética modular. Primero, considere [math] G = \ mathbb {Z} [/ math] y un subgrupo (grande) [math] H = 2 \ mathbb {Z} [/ math]. ¿Cuál es el grupo de cocientes? Es la clase de residuos mod 2. Par e impar.

O bien, puede cambiar todo: considere nuevamente [math] G = \ mathbb {Z} [/ math] y el exclusivo homomorfismo distinto de cero de [math] G [/ math] a un grupo de dos elementos. Nuevamente, el mapa es solo el módulo de reducción 2.

De acuerdo, eso es solo una ilustración del teorema del isomorfismo, pero a pesar de su simplicidad, ilustra la filosofía. ¿Qué sucede cuando forma un grupo de cocientes [matemática] G / N [/ matemática]? Usted “reduce el módulo [matemática] N [/ matemática]”. Menos precisamente, no le importa ninguna [matemática] N [/ matemática] -ness … todo eso se envía a 0 en el grupo de cociente.

¿Qué sucede cuando tienes un mapa [math] \ phi: G \ to H [/ math]? No te importan las cosas en [matemáticas] \ ker \ phi [/ matemáticas] … todas esas cosas solo se envían a 0 en [matemáticas] H [/ matemáticas].

El primer teorema del isomorfismo dice que estos son procesos idénticos: los mapas están asociados con subgrupos normales que están asociados con grupos de cocientes … son los tres lados de la misma moneda.

Answer 2

Algunas respuestas aproximadas que se me ocurren:

Para el primer teorema del isomorfismo: los elementos del cociente son fibras, que puede visualizar como líneas rectas verticales. Cada línea corresponde a algún elemento en la imagen del homomorfismo, que puede escribir debajo de la línea. El isomorfismo sigue así.

Para el segundo teorema del isomorfismo: observe que también se le llama el teorema del isomorfismo del diamante. Visualízalo de la siguiente manera:

AB
A B
A \ capB

Muy bien, AB / B es isomorfo a A / (A \ cap B).

Para el tercer teorema del isomorfismo: escriba G, H, K (H <= K) en una línea vertical y use su imaginación.

Answer 3

El lado positivo de la teoría de grupos es que hay suficientes grupos “pequeños” con representaciones geométricas muy visuales obvias que podrían ayudar al alumno a absorber e interiorizar conceptos más abstractos. Para los teoremas de isomorfismos de tres grupos, recomendaría jugar con dos grupos:

• El grupo simétrico [math] \ mathop {Sym} _4 [/ math] en 4 letras: también es el grupo de simetrías del tetraedro regular. Este grupo no es conmutativo.
• El grupo cíclico de orden 12 es isomorfo al grupo aditivo de residuos módulo 12, [math] \ mathbb {Z} / 12 \ mathbb {Z} [/ math], que también es el grupo de rotaciones de un gon de 12 g. Este grupo es conmutativo.

Un informe detallado tomaría varias páginas, y no quiero hacer eso aquí. Pero confía en mí, es mucho más divertido hacerlo por tu cuenta. Cada uno de los dos grupos tiene algunos subgrupos normales, suficientes para ilustrar el Tercer Teorema del Isomorfismo, y algunos homomorfismos naturales en sí mismos ( endomorfismos ). Encuéntrelos a todos, encuentre las imágenes de endomorfismos, etc., y vea por usted mismo cómo son los Teoremas de los Tres Isomorfismos en estos casos especiales concretos.

Le recomiendo un excelente libro de Nikolay Vavilov Concrete Group Theory , ¡hecho de ejemplos! – pero, desafortunadamente, está en ruso.

Answer 4

Para el segundo teorema del isomorfismo ([matemáticas] AB / B \ cong A / A \ cap B [/ matemáticas]), la imagen en mi cabeza era:

Donde el corte azul es A, el rojo es B y toda la cuadrícula es AB.
Interprete las flechas de dos maneras: modifique AB por B o modifique A por [matemáticas] A \ cap B [/ matemáticas]

Answer 5

Piense en el cubo de Rubik y los rompecabezas relacionados como ejemplos.

Ha pasado mucho tiempo desde que tomé álgebra abstracta. Y no lo he tocado desde entonces. Pero sí recuerdo uno de los trucos que utilicé para tener una idea intuitiva de lo que estaba sucediendo.

Pensaría en el cubo de Rubik y los rompecabezas relacionados como ejemplos. Un subgrupo sería un conjunto de posiciones que podrían alcanzarse con un conjunto de movimientos. O algo así.

Aquí hay alguien a quien se le ocurrió una idea similar.
http://geometer.org/rubik/group.pdf

De todos modos, me pareció muy útil pensar en ejemplos concretos como el cubo de Rubik, y terminé obteniendo una A alta en el curso.

Answer 6

Dejando a un lado el tercer teorema (también conocido como teorema de primer año: nombrado de tal manera que incluso un estudiante de primer año cancele K), (intentar) un diagrama de Hasse puede ser útil para visualizar los dos primeros teoremas que siguen de los hechos sobre la categoría de grupos y la red de subgrupos, como lo es al visualizar [fig] el isomorfismo en la red de subgrupos de un grupo (lema de Zassenhaus)
higo.
cf: wikipedia