En un curso elemental de álgebra lineal, el tema básico es que muchos problemas interesantes se reducen a la resolución de un sistema de ecuaciones lineales .
Los mapas lineales ocurren en todas las matemáticas. El ejemplo más fácil de señalar es la derivada de una función suave [math] f: \ mathbb {R} ^ n \ to \ mathbb {R} ^ n [/ math]. La derivada de variable única es una pendiente, que podemos considerar como un mapa lineal [math] \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} [/ math]. La generalización a [matemática] m, n> 1 [/ matemática] es considerar el mapa lineal cuya matriz estándar es la matriz de las primeras derivadas parciales, [matemática] \ parcial f_i / \ parcial x_j [/ matemática].
En cuanto al núcleo y la imagen, bueno, la inyectividad y la surjectividad son preguntas básicas sobre cualquier función. Uno de los resultados básicos sobre las transformaciones lineales es que son inyectivas si y solo si su núcleo es cero. Eso es notable! Significa que para verificar la inyectividad globalmente, es suficiente verificarlo en un solo punto. Tanto el núcleo como la imagen son subespacios lineales.
Eso nos dice por qué nos puede interesar el núcleo y la imagen de una transformación lineal. Para terminar de responder a su pregunta, deberíamos abordar qué tiene que ver esto con el álgebra lineal (que en este contexto, tomaré como “estudio de sistemas de ecuaciones lineales”, aunque creo que es una definición demasiado limitada en general ) Volvamos al tema en negrita que escribí anteriormente. ¿Qué tienen que ver los núcleos y las imágenes con los sistemas lineales?
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Si [math] T: \ mathbb {R} ^ n \ to \ mathbb {R} ^ m [/ math] es una transformación lineal, escriba [math] A [/ math] para su matriz estándar; es decir, la matriz cuyos vectores de columna son [matemática] T (e_1), T (e_2), \ ldots, T (e_n) [/ math], donde [matemática] \ {e_1, e_2, \ ldots, e_n \} [/ math] es la base estándar de [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math]. Entonces [math] T (v) = Av [/ math] para todos [math] v \ in \ mathbb {R} ^ n [/ math]. Los siguientes dos hechos se siguen casi de inmediato (y si no ve por qué, es un gran ejercicio elaborar la prueba por sí mismo):
- El núcleo de [math] T [/ math] es el conjunto de soluciones para el sistema lineal homogéneo [math] Ax = 0 [/ math].
- La imagen de [math] T [/ math] es el conjunto de todos [math] b \ in \ mathbb {R} ^ m [/ math] de modo que el sistema lineal no homogéneo [math] Ax = b [/ math] es consistente (es decir, tiene al menos una solución).
Entonces hemos traducido preguntas sobre transformaciones lineales (núcleo, imagen) a preguntas sobre sistemas lineales:
- Comprender la imagen de [math] T [/ math] te dice cuándo el sistema [math] Ax = b [/ math] es consistente; es decir, cuando existen soluciones .
- En los casos en que exista al menos una solución, comprender el núcleo de [math] T [/ math] le indica cuándo estas soluciones son únicas .