Además de la explicación de John Baez, me gusta la del capítulo 5 de Polytopes Regular de Coxeter. Él llama al fenómeno que estamos describiendo El caleidoscopio diédrico .
Tomar una imagen en el avión 
Joan Miró, Mujeres y pájaros al amanecer
y reflejarlo en cualquiera de las opciones de semicírculo (medio abierto), de líneas a través del origen, para que pueda reflejarlo.
Llame a la acción de hacer esto (sin importar cómo elija el ángulo) A. Hacer A dos veces es lo mismo que dejar la figura sola, sea cual sea la A que elijas.
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Pero, ¿qué pasa si elige dos líneas diferentes a través del origen para reflejar? Llamémoslos A ≠ B. Ahora estas dos reflexiones interactuarán de alguna manera. †
En la mayoría de los casos, A y B se señalarán torcidamente para que se “extrañen” entre sí. 
es decir, la secuencia infinita ABABABAB … nunca termina.
Pero solo hay una disposición de dos espejos A y B que se “alinearán” en el sentido de que ABAB lo trae de vuelta al principio.
† (Los matemáticos llaman a esta interacción un “grupo de reflexión” porque una secuencia de reflexiones forma una “tabla de multiplicación generalizada”, lo que significa (1) la forma en que paréntesis reflexiones secuenciales no importa, y (2) las reflexiones son reversibles. [Cualquier reflexión –Sin embargo, si gira el “espejo”, es su propio opuesto, por lo que es una propiedad fácil de verificar.] Puede buscar los otros dos “axiomas grupales” en Wikipedia, hacer que esos trabajos sean básicamente un tecnicismo, a diferencia de los hechos profundos que Haga que los ángulos especiales de reflexión sean especiales.)
Si está garabateando la respuesta o la estructura grupal en papel, le recomiendo marcar cuatro esquinas de un cuadrado con a, b, c, d. Luego use un color diferente para cada flecha A y B → . (Creo que eso aclarará la estructura del grupo). Es probable que sea más fácil pensar en qué ángulos de espejo funcionan que intentar dibujar.
Pero pensé que esta respuesta se vería mejor si volviera a colocar la estructura del grupo en un Miró; Espero que les guste de esta manera.
(Y te dejo que dibujes B, luego A y B , así como las otras alternativas).
A medida que agrega más y más espejos ABCDE , los ángulos en los que deberían estar para no perderse entre sí siguen un patrón predecible. Cada espejo que agregue de esta manera agrega uno o
o ―o ― o ― o― … ―o
patrón (como se dibujó en Baez week230). Este patrón se llama [math] A_n [/ math] ( n es cuántos espejos has puesto).
(Por lo tanto, también puede dibujar los reflejos de un pentágono, un hexágono, … ver ¿qué es un grupo en teoría de grupos? E isomorfismos para más imágenes) 
¿Qué pasaría si tuviera que hacer algo análogo, en lugar de con una figura plana, con una estatua?
^ El “hombre-león”. Artista desconocido, pero vivió hace aproximadamente 42,000 años (= 21 Jesús) en los Alpes de Suabia. La figura es famosa porque es la prueba física más antigua de la imaginación humana: quien haya tallado esta estatua, imaginó algo que no existe en el mundo físico. (Pista, pista: los diagramas de Dynkin tampoco existen en el mundo físico).
Bueno, todas las rotaciones del avión aún se agruparían de la misma manera. Entonces aún podríamos dibujar diagramas de Dynkin como
o ―o ― o― … ―o
pero también podría agregar más tipos de reflejos, como un movimiento “invertido en la dirección vertical”. (Cambiemos el nombre de las viejas reflexiones planas A₁, A₂, … para dejar espacio a las nuevas letras que provienen de la nueva dimensión. ¿Qué le parece llamar U / V al revés / vertical?)
Además de agregar el reflejo del “hombre al revés”, hay otras formas de agregar espejos que permanecen sincronizados / no torcidos con la totalidad de otros espejos que ya están presentes. También hay algunos análogos de dimensiones superiores también. (Esta es una de las cosas más difíciles de pensar en> 3D. Y también es bastante difícil de pensar en 3D, en mi opinión. Escribí una reseña sobre cómo visualizar dimensiones más altas y la vista de grupo de reflexión / Edificios todavía está activada la lista de cosas por hacer, así que normalmente diría “¡muchas dimensiones son más fáciles de lo que piensas!”, pero no en este caso. Por ejemplo, si dibujaste un montón de palos |||||| – digamos veintisiete (http : //www.math.harvard.edu/~lur…) – y marcó los extremos + y – de cada uno, ¿qué reflexiones serían fáciles de hacer cambiando el ± a ∓, y qué no podría hacer de esa manera?)
El símbolo Schlaefli 5,3,3 de 120 celdas, modelo físico de, creo, PS Donchian.
Eso fue como un resumen previo de lo que dice Coxeter. Aquí hay algunas capturas de pantalla de la vista previa de Google de Regular Polytopes que lo explican mejor. (Puede leer el capítulo completo en la vista previa de Google).
Tenga en cuenta que esto es diferente a las reflexiones (que no pasan por el origen) en Geometría y topología de 3-manifiestos de Thurston:
↑ isomorphismes tiene más vistas de esta imagen y un enlace a GT3M (en el sitio web de msri).
† El reciente trabajo de Maryam Mirzakhani y Alexander Eskin (
Creo que es el enlace IAS relevante) discute la “dinámica de la bola de billar” (dicen que esto es una especie de instanciación familiar, pero ingenua, de lo que hacen) con el camino de una bola de billar sin fricción. (Curiosamente, después de un siglo de trabajo, esto aún no se ha resuelto).
Pero, de nuevo, estos no son los reflejos a través del origen de los llamados “grupos de reflexión” ( caleidoscopio diédrico de Coxeter).