Deprimiendo un cuadrático
Primero, repitamos cómo podemos factorizar un polinomio cuadrático. Esta será la técnica habitual de completar el cuadrado, pero voy a presentarla desde una inclinación ligeramente diferente para que sea un poco más fácil ver cómo generalizar el truco.
Comience con un polinomio cuadrático
[matemáticas] x ^ 2 + hacha + b [/ matemáticas]
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Si faltara el término lineal o constante, estaríamos en forma, todo lo que tendríamos que hacer sería factorizar
[matemáticas] x ^ 2 + hacha = x (x + a) [/ matemáticas]
o
[matemáticas] x ^ 2 + b = (x + \ sqrt {-b}) (x – \ sqrt {-b}) [/ matemáticas]
así que veamos si podemos transformar la ecuación de tal manera que se reduzca a una de estas. Sustituya [math] x ‘= x – k [/ math] en nuestra cuadrática, dando
[matemáticas] x ^ 2 + hacha + b = (x ‘+ k) ^ 2 + a (x’ + k) + b [/ matemáticas]
Expandiendo, esto es:
[matemáticas] (x ‘) ^ 2 + 2 k x’ + k ^ 2 + a x ‘+ ak + b [/ matemáticas]
Recolectando los coeficientes, tenemos
[matemáticas] (x ‘) ^ 2 + [2k + a] x’ + [k ^ 2 + ak + b] [/ matemáticas]
Así que ahora la pregunta es si podemos elegir k de tal manera que uno de estos coeficientes desaparezca. Intentar resolver [matemática] k ^ 2 + ak + b = 0 [/ matemática] no nos llevará a ninguna parte, ¡ese es solo el problema original con el que comenzamos! – entonces hagamos 2k + a = 0 . Obviamente, la solución es k = -a / 2 , y al hacer esta sustitución reducimos el problema a factorizar [math] (x ‘) ^ 2 + b’ [/ math], donde b ‘ denota el término constante anterior.
Si realmente sigue estos pasos, aparece la fórmula cuadrática. Si observa cuidadosamente los pasos, verá que en realidad solo está completando el cuadrado: [matemáticas] (x ‘) ^ 2 [/ matemáticas] es solo [matemáticas] (xa / 2) ^ 2 [/ matemáticas ] como lo verías en la derivación habitual, y así sucesivamente.
La eliminación de un coeficiente como este se conoce como “deprimir” la cuadrática. En el caso de la cuadrática, es suficiente resolver la ecuación automáticamente. En el caso del cúbico, no es suficiente, pero es un primer paso importante.
Deprimiendo un cubico
Bien, ahora estamos listos para aplicar esta técnica a lo real. Comencemos con un cúbico de la forma
[matemáticas] x ^ 3 + hacha ^ 2 + bx + c [/ matemáticas]
Dado que el problema de factorizar esto es difícil, tiene sentido intentar reducir el problema de alguna manera. En particular, este problema tiene tres parámetros (a, byc); Si pudiéramos reducirlo a un problema de dos parámetros, nuestras vidas podrían ser más fáciles. Probemos una sustitución de la forma [math] x ‘= x – k [/ math], y veamos qué sucede:
[matemáticas] x ^ 3 + hacha ^ 2 + bx + c [/ matemáticas]
[matemáticas] = (x ‘+ k) ^ 3 + a (x’ + k) ^ 2 + b (x ‘+ k) + c [/ matemáticas]
Multiplicando esto, tenemos:
[matemáticas] (x ‘) ^ 3 + 3 k (x’) ^ 2 + 3 k ^ 2 x ‘+ k ^ 3 [/ matemáticas] [matemáticas] + a (x’) ^ 2 + 2 ak x ‘+ ak ^ 2 + bx ‘+ bk + c [/ matemáticas]
Ahora agrupemos todos los coeficientes:
[matemáticas] (x ‘) ^ 3 + [3k + a] (x’) ^ 2 + [3k ^ 2 + 2a k + b] x ‘[/ matemáticas] [matemáticas] + [k ^ 3 + ak ^ 2 + bk + c] [/ matemáticas]
Como podemos controlar k , hay dos cosas que podríamos hacer aquí. Primero, podríamos tomar k = -a / 3 , de modo que el coeficiente 3k + a se cancele. Alternativamente, dado que ahora sabemos cómo resolver una cuadrática, podríamos tomar k de manera que [matemática] 3k ^ 2 + 2a k + b = 0 [/ matemática], de modo que el coeficiente de x ‘ se cancele.
En otras palabras , nuestro truco de sustitución nos ha demostrado que, si sabemos factorizar cualquiera de los cúbicos de la forma
[matemáticas] x ^ 3 + hacha ^ 2 + c [/ matemáticas]
o cúbicos de la forma
[matemáticas] x ^ 3 + bx + c [/ matemáticas]
entonces automáticamente sabemos cómo factorizar cualquier cúbico.
Los matemáticos habían descubierto esto en tiempos medievales, pero se quedaron perplejos durante cientos de años sobre cómo resolver cualquiera de estos dos tipos simplificados de cúbicos. Finalmente, un hombre llamado [1] Niccolò Tartaglia encontró una solución para la última ecuación en el siglo XVI. Veamos cómo lo hizo.
Resolviendo el cúbico deprimido
Comience simplemente tomando dos variables syt , y calcule
[matemáticas] (\ sqrt [3] {s} – \ sqrt [3] {t}) ^ 3 [/ matemáticas] [matemáticas] = s – 3 (\ sqrt [3] {s}) ^ 2 \ sqrt [ 3] {t} + 3 (\ sqrt [3] {t}) ^ 2 \ sqrt [3] {s} – t [/ matemáticas]
[math] = (s – t) – 3 \ sqrt [3] {s} \ sqrt [3] {t} (\ sqrt [3] {s} – \ sqrt [3] {t}) [/ math]
Así que aquí tenemos una ecuación en la que un término tiene esta cosa [matemáticas] \ sqrt [3] {s} – \ sqrt [3] {t} [/ matemáticas] a la tercera potencia, otro término lo tiene a la primera potencia, y otro término no lo presenta en absoluto. Tartaglia se dio cuenta brillantemente de que simplemente podría unir las piezas aquí: si solo intentamos y establecemos
[matemáticas] x = \ sqrt [3] {s} – \ sqrt [3] {t}, [/ matemáticas]
[matemáticas] b = 3 \ sqrt [3] {s} \ sqrt [3] {t}, [/ matemáticas],
[matemáticas] c = t – s, [/ matemáticas]
entonces podemos resolver estas ecuaciones para syt en términos de byc .
[Se está haciendo tarde y esto es largo, así que lo recogeré más tarde. ]
[1] En realidad, “Tartaglia” no era su nombre, era un apodo que se refería a su impedimento del habla. Cuando Tartaglia era un niño de doce años, un soldado de un ejército de ocupación decidió que sería una buena idea introducirse un cuchillo en la mandíbula y en el paladar, dañando permanentemente su capacidad de hablar. Tartaglia es una de las personas más interesantes en matemáticas: después de que su padre fue asesinado cuando tenía cinco años, fue criado por una madre soltera en un momento en que esencialmente no había trabajo disponible para las mujeres. Su familia no tenía dinero, por lo que nunca fue a la escuela. Durante su vida, él y Copérnico fueron los dos matemáticos más importantes del mundo. Y parte del crédito por la fórmula cúbica, su descubrimiento más importante, fue robado por otros matemáticos, lo que le hizo pasar los últimos años de su vida teniendo que luchar por el crédito por su trabajo.