El artículo de Wikipedia “Teorema fundamental del álgebra” enumera varias pruebas, incluida una de carácter algebraico. Esbozaré brevemente lo que contiene; busca el artículo para más detalles.
Primero, comience observando que es suficiente mostrar que cualquier polinomio real tiene una raíz compleja (ya que puede multiplicar un polinomio complejo por su conjugado para obtener un polinomio real).
La prueba es por inducción, pero de una manera ligeramente inesperada: procede por inducción en la mayor potencia de 2 dividiendo el grado del polinomio (si lo desea: induce en la valoración de 2 adic del grado). El caso base, entonces, es que los polinomios de grado impar tienen al menos una raíz compleja. Esto se desprende del teorema del valor intermedio.
El paso inductivo pasa de un polinomio de grado n a un polinomio de grado (n elige 2) = n (n-1) / 2.
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Así es como funciona: para cada par (a, b) de raíces del polinomio original (en algún cierre algebraico), haga que ab + t (a + b) sea la raíz de un nuevo polinomio (donde t es un número real, para ser elegido más tarde). Esto da un polinomio de grado (n elige 2). Comprueba que sus coeficientes son reales. Por hipótesis inductiva, al menos una raíz es compleja. Ahora, varíe el valor de t que eligió; Según el principio del casillero, hay un par de raíces (a, b) del polinomio original de modo que ab + t (a + b) es complejo para al menos dos valores reales de t. Pero esto muestra que ab y a + b son complejos; La fórmula cuadrática termina la inducción.
Es interesante desempacar lo que precisamente esta prueba usó sobre los números reales:
(a) Los números reales tienen una extensión única de grado 2, y esta extensión contiene todas las raíces cuadradas.
(b) Cada polinomio de grado impar sobre los números reales tiene una raíz real.
Entonces, esta hipótesis implica que el cierre algebraico de un campo es una extensión de grado 2.
También hay una prueba algebraica en el libro de Pierre Samuel “Teoría algebraica de los números”, que creo que es la misma que he bosquejado aquí.