Si [matemática] a, b, c, d, e, f [/ matemática] son ​​números reales positivos tales como [matemática] a + b + c + d + e + f = 1 [/ matemática], ¿cuál es el máximo valor de [math] ab + bc + cd + de + ef [/ math]?

Answer 1

Agregue algunos términos adicionales para que sea un factor:
[matemáticas] ab + bc + cd + de + ef \ le (a + c + e) ​​(b + d + f) [/ matemáticas],
con igualdad cuando [math] ad + af + cf + be = 0 [/ math]; entonces
[matemáticas] (a + c + e) ​​(b + d + f) \ le \ bigl (\ tfrac {a + c + e + b + d + f} {2} \ bigr) ^ 2 = \ tfrac14 [/ matemáticas],
por la desigualdad AM-GM, con igualdad cuando [matemáticas] a + c + e = b + d + f [/ matemáticas].

El caso de igualdad en realidad nunca se alcanza dadas las restricciones distintas de cero, pero podemos acercarnos arbitrariamente a él en
[matemáticas] (a, b, c, d, e, f) \ to \ bigl (x, \ tfrac12, \ tfrac12 – x, 0, 0, 0 \ bigr) [/ math]
[matemáticas] (a, b, c, d, e, f) \ to \ bigl (0, x, \ tfrac12, \ tfrac12 – x, 0, 0 \ bigr) [/ math]
[matemáticas] (a, b, c, d, e, f) \ to \ bigl (0, 0, x, \ tfrac12, \ tfrac12 – x, 0 \ bigr) [/ math]
[matemáticas] (a, b, c, d, e, f) \ to \ bigl (0, 0, 0, x, \ tfrac12, \ tfrac12 – x \ bigr) [/ math]

Entonces no hay un máximo, pero el supremum es [math] \ tfrac14 [/ math].

Answer 2

No hay una respuesta definitiva. Seguramente puede encontrar el máximo con algún método de optimización convexo. Podría ser aquel donde todos son un sexto, pero no necesariamente. El mínimo es cercano a 0 si una de las variables tiende a 1 y todas las demás tienden a cero.

* editar * Veo que cambiaste la pregunta para pedir la maximización. Bueno, este es un problema de optimización convexo. Hay una multitud de métodos disponibles. Como esto solo tiene una restricción de igualdad, puede usar los multiplicadores de Lagrange http://en.wikipedia.org/wiki/Lag … para encontrar máximos locales, que son globales en condiciones adecuadas. Boyd tiene un gran curso sobre programación compleja en línea http://www.stanford.edu/~boyd/cv… .

Answer 3

No debo tomar el crédito por la respuesta. La misma pregunta ha sido respondida antes por Sir Anders Kaseorg. Por favor visite el siguiente enlace:

Si [matemática] a, b, c, d, e, f [/ matemática] son ​​números reales positivos tales como [matemática] a + b + c + d + e + f = 1 [/ matemática], ¿cuál es el máximo valor de [math] ab + bc + cd + de + ef [/ math]?

Sin embargo, gracias por A2A, ¡espero que ayude!

Answer 4

¿Por qué solo tener seis (o cualquier número arbitrario finito de) variables? ¿Por qué no un número infinito de variables? Ese podría ser un problema más interesante.

Aunque, para ser honesto, las preguntas de este tipo se retienen mejor para los problemas de tarea de matemáticas de la escuela secundaria, porque en realidad no presionan los botones de los aficionados a las matemáticas, que se dan cuenta de que las matemáticas son más que Teoría de números:

Answer 5

De hecho, hay varias soluciones como algunos han señalado correctamente. La respuesta de Gillis parece estar completa y, de hecho, puede usar esas técnicas de optimización para encontrar los máximos.
Sin embargo, la solución simétrica (asignar 1/6 a todos) suele ser una buena apuesta en tales preguntas. Además, ciertamente no son los mínimos globales como se puede ver al asignar los valores como 1/7, 1/7, 1/7, 1/7, 1/7 y 2/7. Pero verifique con los métodos correctos si desea estar absolutamente seguro.

Answer 6

La siguiente no es la respuesta correcta. Como se señaló en otra parte, la respuesta correcta es aproximadamente 1/4.

Supongo que el máximo es 3/16.
Estoy en lo cierto?

No creo que la solución simétrica se aplique en este caso, porque a y f solo se usan una vez. Si estuviéramos buscando el máximo de ab + bc + cd + de + ef + af (observe el “af” adicional al final), entonces apuesto a que la respuesta simétrica sería el máximo.

Tomemos un problema más simple.
g + h + i = 1
Encuentra el máximo de gh + hi.
g, h, y yo somos números reales positivos.
La respuesta simétrica sería 1/3, 1/3, 1/3. Total 2/9, que es 8/36.
Pero 1/4, 1/2, 1/4 produce un total de 1/4 que es 9/36.

Ahora volviendo al problema original.
Mi conjetura es que a = f y b = c = d = e. Sin razón. Solo un presentimiento.
Con esa suposición, tenemos que encontrar el máximo de 2ab + 3b ^ 2 donde 2a + 4b = 1.

¿Quizás b está justo por debajo de 1/4 y a está por encima de 0? Eso da un total de aproximadamente 3/16.

Answer 7

Si a2 + b2 – c2 = 0, entonces el valor de a6 + b6 + c6 / a2b2c2 es la solución para esto.

para mí son 3