¿Cuáles son algunas de las mejores maneras de expresar [math] \ pi [/ math]?

Answer 1

1. La fórmula milagrosa recientemente descubierta de Bailey, Borwein y Plouffe:

[matemáticas] \ pi = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ frac {1} {16 ^ k} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ veces \ izquierda (\ frac {4} {8k + 1} – \ frac {2} {8k + 4} – \ frac {1} {8k + 5} – \ frac {1} {8k + 6 } \ right) [/ math]

http://en.wikipedia.org/wiki/Bai…

El milagro aquí es este factor de [matemática] 16 ^ k [/ matemática] en el denominador: permite convertir esta fórmula en un “algoritmo de espita” que puede determinar ese millonésimo dígito de [matemática] \ pi [/ matemática] (en base 16 o en binario) sin calcular todos los dígitos que conducen al millonésimo.

2. [math] \ pi [/ math] es 2 dividido por la probabilidad de que una aguja de 1 pulgada de largo cruce una de una secuencia de líneas dibujadas en el piso, separadas por 1 pulgada.

http://en.wikipedia.org/wiki/Buf…

3. Producto de Wallis:

[matemáticas] \ pi = 2 \ cdot \ frac {2} {1} \ cdot \ frac {2} {3} \ cdot \ frac {4} {3} \ cdot \ frac {4} {5} \ cdot \ frac {6} {5} \ cdots [/ math]

http://en.wikipedia.org/wiki/Wal…

4. Fórmula de Leibniz:

[matemáticas] \ pi = 4 \ left (1- \ frac {1} {3} + \ frac {1} {5} – \ frac {1} {7} + \ cdots \ right) [/ math]

http://en.wikipedia.org/wiki/Lei…

5. El algoritmo de Gauss-Legendre:

http://en.wikipedia.org/wiki/Gau…

6. Otra loca identidad [matemática] \ arctan [/ matemática]:

[matemáticas] \ pi = 16 \ arctan (\ frac {1} {5}) – 4 \ arctan (\ frac {1} {239}) [/ math]

Answer 2

Una de las ecuaciones de Ramanujan para pi

Se sabe que esta expresión converge rápidamente, agrega 8 decimales en cada iteración. Referencias
[1] Prueba de un resultado genérico del formulario. El resultado de Ramanujan es un caso especial con N = 58
http://mathdl.maa.org/images/upl …
[2] Aproximaciones de π
[3] Una encuesta sobre el trabajo de Ramanujan en pi
http: //www.carma.newcastle.edu.a …

Answer 3

La fórmula de Chudnovsky:

Desarrollado en 1987 por los hermanos Chudnovsky [1], converge más rápido que la fórmula Ramunujan, y fue utilizado por los hermanos Chudnovsky para calcular [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] a 10 billones de dígitos en 2011 [2].

[1] Pi
[2] Algoritmo de Chudnovsky