Matemáticos: ¿Por qué la Física no adoptó la notación Álgebras de Clifford desde el principio? Educación te da un futuro mejor

tl; dr: requiere más madurez matemática para usar (en oposición a las representaciones de álgebras de Clifford a través de matrices)

Tienes razón en que la muerte de Clifford probablemente tuvo mucho que ver con no adoptar Clifford Algebras. Sin embargo, los spinors y las álgebras de Clifford se estudiaron durante un tiempo bastante largo antes de que los físicos se toparan con ellos. Hablando en términos generales, Clifford quería combinar la anticomunividad del Grassmannian [matemáticas] G (V) = \ oplus_ {i = 1} ^ {n} \ wedge ^ i V, n = \ dim V [/ math] con el regla de “cuadrados a uno” de los Hamiltonions [Quaternions], [math] \ mathbb {H} [/ math]. Sin embargo, había una delgada línea entre cuando las álgebras de Clifford se construían como representaciones de rotación y cuando se construían de manera abstracta (como lo hizo Clifford).

Veamos a los jugadores clave en la historia temprana de Clifford Algebras:

Hamilton (1844): Se le ocurrió a los Cuaterniones, le dio algún significado a un “producto” de dos vectores en [math] \ mathbb {R} ^ 4 [/ math].
Cayley (1845) : se le ocurrió la idea de que la esfera de la unidad en los Cuaterniones de Hamilton podría usarse para construir rotaciones en [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math]
Grassmann (1844-1845): se le ocurrió la idea del producto de cuña y un bivector anticommutador, [math] \ mathbf {e} _1 \ wedge \ mathbf {e} _2 = – \ mathbf {e} _2 \ wedge \ mathbf {e} _1 [/ matemáticas]. Describió efectivamente los campos magnéticos sin darse cuenta.
Clifford (1876): se le ocurrió el álgebra geométrica (ahora Clifford Algebra) que fusionó [matemática] G (V) [/ matemática] y [matemática] \ mathbb {H} [/ matemática].
Lipschitz (1880) : dio una interpretación geométrica del álgebra de Clifford (que era abstracta cuando se inventó). Se le ocurrió la exponencial exterior, [math] \ exp (\ mathbf {B}) = 1 + \ mathbf {B} + \ frac {1} {2!} \ Mathbf {B} \ wedge \ mathbf {B} + \ frac {1} {3!} \ mathbf {B} ^ {\ wedge 3} + \ cdots [/ math] como mapa que toma un elemento arbitrario de un Álgebra de Clifford y genera una rotación. Un poco más específicamente, tenemos [math] \ exp (\ mathbf {B}) \ wedge \ mathbf {A} = a \ mathbf {A} a ^ {- 1} [/ math] para cualquier vector [math] \ mathbf {A}, \ mathbf {B} [/ math] en un Álgebra de Clifford y cierta [math] a \ in \ mathsf {SU} (2) [/ math]
Cartan (1913): dio la interpretación geométrica de los elementos de álgebra de Clifford como Spinors. Surgió mientras se considera el conjunto de tramas ortonormales sobre una variedad (por ejemplo, el paquete de trama tangente reducida, genéricamente un [math] \ mathsf {SO} (n) [/ math] -bundle); desde [math] \ pi_ {1} (\ mathsf {SO} (n)) \ cong \ mathbb {Z} _2 [/ math], Cartan decidió mirar la cubierta universal y los hiladores que producen el paquete asociado.
Pauli (1927): demostró que para dar cuenta del giro, [math] \ mathbf {p} ^ 2 \ rightarrow \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {p} + \ mathbf {p} \ wedge \ mathbf {p } [/ math], donde [math] \ mathbf {p} [/ math] es el impulso

Como puede ver, hubo una gran brecha entre el desarrollo de Clifford Algebras desde una perspectiva matemática y su uso en Física [1]. Sin embargo, usando la prescripción de Pauli, uno no necesita aprender todo el formalismo desarrollado (por ejemplo, el uso de formas cuadráticas, el concepto de álgebra, etc.); en cambio, es mucho más fácil enseñar (y hacer cálculos) cuando se usan representaciones de Álgebras de Clifford a través de matrices (por ejemplo, matrices de Pauli, Weyl Spinors, Dirac Spinors)

[0] Clifford Álgebra y Spinors por Pertti Lounesto
[1] También son naturales en otras áreas de la física, pero a veces lleva un tiempo adoptarlas. Recuerde, a pesar de que Jackson y Griffiths usan la medida de Dirac [matemáticas] \ delta (\ mathbf {x}) [/ matemáticas], el propio Maxwell no tenía esa conveniencia
[2] ¡Gracias a Brian Bi por señalar un error tipográfico!