¿Por qué dos más dos equivalen a cuatro (2 + 2 = 4)?

Answer 1

Esa pregunta es extraordinariamente difícil. Recomiendo el tratamiento de Bertrand Russell de esto: Introducción a la filosofía matemática

Aquí hay un bosquejo aproximado:

• Un número es algo que caracteriza ciertas colecciones, es decir, aquellas que tienen ese número.

De la definición teórica de conjuntos de números naturales:

“En la teoría de conjuntos estándar de Zermelo-Fraenkel (ZF), los números naturales se definen recursivamente por 0 = {} (el conjunto vacío) yn + 1 = n ∪ {n}. Entonces n = {0, 1, …, n – 1} para cada número natural n. Los primeros números definidos de esta manera son 0 = {}, 1 = {0} = {{}}, 2 = {0,1} = {{}, {{}}} , 3 = {0,1,2} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}} ”

y continuando la secuencia, 4 = {0,1,2,3} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}, {{}, {{}}, {{}, { {}}}}}.

Básicamente, “2” es el nombre arbitrario que le hemos asignado al conjunto {{}, {{}}}, o cualquier colección de cosas que se pueden mapear uno a uno en ese conjunto, y “4” es el arbitrario nombre que le hemos asignado al conjunto {{}, {{}}, {{}, {{}}}, {{}, {{}}, {{}, {{}}}}} o cualquier colección de cosas que se pueden mapear uno a uno en ese conjunto.

El símbolo “+” se define como la operación de tomar la unión de dos conjuntos.

Entonces, 2 + 2 se traduce (por definición) a la operación de teoría de conjuntos:

{{}, {{}}} U {{}, {{}}} = {{}, {{}}, {}, {{}}}

Si nos fijamos en el conjunto canónico de números (como se describe en la cita anterior), este conjunto resultante se puede asignar uno a uno de forma exclusiva en este número:

{{}, {{}}, {{}, {{}}}, {{}, {{}}, {{}, {{}}}}} o {0, 1, 2, 3}

que, por definición, se denota como “4”.

Answer 2

Depende de los axiomas que permita, pero si me permite la Aritmética de Peano, entonces podemos proceder de la siguiente manera,

• [matemáticas] 2 = S (S (0)) [/ matemáticas] por definición.
• [matemáticas] 4 = S (S (S (S (0)))) [/ matemáticas] por definición.
• La suma se define por [matemática] x + 0 = x [/ matemática] para todos los números naturales [matemática] x [/ matemática] y [matemática] x + S (y) = S (x + y) [/ matemática] para todos los números naturales [matemática] x, y [/ matemática].

Por lo tanto
[matemáticas] 2 + 2 = S (S (0)) + S (S (0)) [/ matemáticas]
[matemáticas] = S (S (S (0)) + S (0)) [/ matemáticas]
[matemáticas] = S (S (S (S (0)) + 0)) [/ matemáticas]
[matemáticas] = S (S (S (S (0)))) [/ matemáticas]
[matemáticas] = 4 [/ matemáticas]

Answer 3

De los Principia Mathematica de Whitehead y Russell, la prueba de la ecuación 1 + 1 = 2 comenzó en la página 379 del Volumen 1. La prueba se completa en el Volumen II, primera edición, página 86, acompañada del comentario, “La proposición anterior ocasionalmente es útil “.

¡Cosas muy embriagadoras, aritmética y lógica!