¿Cómo puedo resolver [matemáticas] T (x) = \ int_P ^ x \ left (R_ {top} – \ frac {R_ {top}} {C_ {a} (x’-P) +1} \ right) dx ‘[/ math] para [math] C_ {a} [/ math]?

Answer 1

La respuesta anterior de Anthony Yeh se ve bien, pero desde que me preguntaron, aquí hay una pequeña explicación sobre cómo resolver esa ecuación usando una función Lambert W, que es algo de lo que había oído hablar antes pero en lo que nunca pensé.

La función W de Lambert es la función inversa de [math] y = we ^ w [/ math].

Después de tomar la integral, obtenemos una expresión de la forma

[matemática] T = Rx – RP – \ frac {R} {C} \ log \ left [C (xP) + 1 \ right] [/ math]

Reorganizando,

[matemáticas] – \ frac {T – Rx + RP} {R} C + \ log \ left [C (xP) + 1 \ right] = 0 [/ math]

Reescribamos esto como

[matemáticas] \ alpha C + \ log (\ beta C + \ gamma) = 0 [/ matemáticas]

dónde

[matemáticas] \ alpha = – \ frac {T – Rx + RP} {R} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ beta = x – P, \ gamma = 1 [/ matemáticas]

Ahora necesitamos unir los términos dentro y fuera del registro agregando las correcciones apropiadas a cada lado:

[matemáticas] \ alpha \ left (C + \ frac {\ gamma} {\ beta} \ right) + \ log \ left [\ alpha \ left (C + \ frac {\ gamma} {\ beta} \ right) \ derecha] [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {\ alpha \ gamma} {\ beta} + \ log \ left (\ frac {\ alpha} {\ beta} \ right) [/ math]

Exponencial,

[matemáticas] \ alpha \ left (C + \ frac {\ gamma} {\ beta} \ right) \ exp \ left \ {\ alpha \ left (C + \ frac {\ gamma} {\ beta} \ right) \ right \} = \ frac {\ alpha} {\ beta} \ exp \ frac {\ alpha \ gamma} {\ beta} [/ math]

Ahora tenemos esto en forma para usar una función W:

[matemáticas] \ alpha \ left (C + \ frac {\ gamma} {\ beta} \ right) = W \ left [\ frac {\ alpha} {\ beta} \ exp \ frac {\ alpha \ gamma} {\ beta} \ right] [/ math]

Resolviendo

[matemáticas] C = – \ frac {\ gamma} {\ beta} + \ frac {1} {\ alpha} W \ left [\ frac {\ alpha} {\ beta} \ exp \ frac {\ alpha \ gamma} {\ beta} \ right] [/ math]

Si conecta los valores de [math] \ alpha, \ beta, [/ math] y [math] \ gamma [/ math] anteriores, obtendrá la respuesta de Anthony Yeh ahora.

Answer 2

Estoy obteniendo una integral ligeramente diferente:

[matemáticas] T = R_ {top} \ left (x – P – \ frac {\ ln {(1 + C_a (xP))}} {C_a} \ right) [/ math]

De todos modos, no creo que haya una solución de forma cerrada para [math] C_a [/ math]. Creo que tendrías que hacer la integral numéricamente. Si juegas con él, puedes obtener la ecuación anterior en una forma que se pueda resolver en términos de la función Lambert W, lo que simplificaría ligeramente la integración numérica, ya que esta es una función estándar en muchos paquetes matemáticos:

http://en.wikipedia.org/wiki/Lam …

Aquí está mi intento:

[matemáticas] C_a = \ frac {W \ left [\ exp {\ left (\ frac {T / R_ {top}} {xP} – 1 \ right)} \ left (\ frac {T / R_ {top}} {xP} -1 \ right) \ right]} {T / R_ {top} – (xP)} [/ math] [math] – \ frac {1} {xP} [/ math]

Podemos hacer que se vea un poco mejor definiendo:

[matemáticas] z = \ frac {T / R_ {top}} {xP} – 1 [/ matemáticas]

Así que eso:

[matemáticas] C_a = \ frac {W \ left [z \ exp {(z)} \ right] -z} {z (xP)} [/ math]