La diagonal de un rectángulo es de 13 cm. El lado más largo es 2 cm más largo que el doble del ancho. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? (Aplicar el teorema de Pitágoras)

Answer 1

Esto es bastante facil.

Según lo dado en el problema, la longitud se puede expresar como [matemática] 2x + 2 [/ matemática], mientras que el ancho es [matemática] x [/ matemática]. Usando el teorema de Pitágoras, tenemos esta ecuación:

[matemática] \ izquierda (2x + 2 \ derecha) ^ 2 + x ^ 2 = 169 [/ matemática]

Entonces, resolvamos.

Simplificando el LHS: [matemática] \ izquierda (2x + 2 \ derecha) ^ 2 + x ^ 2 [/ matemática]

Primero tratamos con [math] \ left (2x + 2 \ right) ^ 2 [/ math]

Aplicando la regla de distribución, en donde [matemáticas] \ izquierda (a + b \ derecha) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2, [/ matemáticas] con [matemáticas] a = 2x, \: \: b = 2 : [/matemáticas]

[matemáticas] = \ left (2x \ right) ^ 2 + 2 \ cdot \: 2x \ cdot \: 2 + 2 ^ 2 [/ math]

Simplificando: [matemáticas] = 4x ^ 2 + 8x + 4 [/ matemáticas]

Entonces el LHS ahora se puede escribir como [matemáticas] = 4x ^ 2 + 8x + 4 + x ^ 2 \ Rightarrow 5x ^ 2 + 8x + 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] 5x ^ 2 + 8x + 4 = 169 [/ matemáticas]

Restando [matemáticas] 169 [/ matemáticas] de ambos lados, ahora tenemos [matemáticas] 5x ^ 2 + 8x-165 = 0 [/ matemáticas]

Esta ecuación cuadrática se puede resolver de varias maneras, pero la más fácil sería usar la fórmula cuadrática, con [matemática] a = 5, \, b = 8 [/ matemática] y [matemática] c = -165 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle x_ {1, \: 2} = \ frac {-8 \ pm \ sqrt {8 ^ 2-4 \ cdot \: 5 \ left (-165 \ right)}} {2 \ cdot \: 5} [/ matemáticas]

Al realizar todas las operaciones, obtendríamos [math] x_1 = 5 [/ math] y [math] x_2 = – \ dfrac {33} {5} [/ math]

Como estamos tratando con un rectángulo, la respuesta no puede ser un valor negativo, por lo que la única respuesta válida para [matemáticas] x [/ matemáticas] es [matemáticas] 5 [/ matemáticas].

Por lo tanto, la longitud es [math] (2x + 2) = 12 \ mathrm {cm.} [/ Math] y el ancho es [math] 5 \ mathrm {cm.} [/ Math]

Answer 2

Deje que el rectángulo tenga su longitud y anchura como L y W.

L = 2W + 2 … (1)

El cuadrado de la diagonal = L ^ 2 + W ^ 2 = 13 ^ 2 = 169 … (2), o

(2W + 2) ^ 2 + W ^ 2 = 169, o

4W ^ 2 + 8W + 4 + W ^ 2 = 169, o

5W ^ 2 + 8W-165 = 0

W = [-8+ (64 + 4 * 5 * 165) ^ 0.5] / 10

= [-8 + 58] / 10 = 50/10 = 5

L = 2W + 2 = 2 * 5 + 2 = 12

Entonces el rectángulo es de 12 cm x 5 cm.

Verificación: 12 ^ 2 + 5 ^ 2 = 144 + 25 = 169 = 13 ^ 2. Correcto.

Answer 3

Si el lado más largo es b y el lado más corto es a (el ancho), se nos da que

b = 2 + 2 a

Entonces el teorema de Pitágoras da

[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = 13 ^ 2 [/ matemáticas] o

[matemáticas] a ^ 2 + (2 + 2a) ^ 2 = 13 ^ 2 [/ matemáticas], lo que da

[matemáticas] a = 5 cm [/ matemáticas]

[matemáticas] b = 12 cm [/ matemáticas]

Answer 4

Claro, hagámoslo.

Supongo que este es un triángulo rectángulo, ya que se refería al más largo de los tres lados como una “diagonal” y los otros dos simplemente como “lados”. Si así fue como se formuló la pregunta real, entonces se hizo muy mal.

De todos modos, despotricar a un lado. Asumamos que es un triángulo rectángulo. Su hipotenusa es 13. Sus otros dos lados se definen como x, y 2x + 2.

c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2

c = 13, a = x, b = 2x + 2

Sustituir:

13 ^ 2 = x ^ 2 + (2x + 2) ^ 2

169 = x ^ 2 + 4x ^ 2 + 4x + 4x + 4

169 = 5x ^ 2 + 8x + 4

0 = 5x ^ 2 + 8x – 165

0 = (5x + 33) (x – 5)

Esto es un poco difícil de factorizar, pero está ahí. Entonces x = -33/5 o 5. x no puede ser negativo ya que es una longitud. Entonces x = 5. Entonces las longitudes de los lados son x = 5 y 2x + 2 = 12.

Esta es una de las pocas situaciones en las que adivinar y verificar es viable. Sin embargo, la única razón es porque la respuesta sale limpiamente. No siempre sale tan limpio y ordenado.

Answer 5

13 ^ 2 = x ^ 2 + (2 * x + 2) ^ 2 = 5 * x ^ 2 + 8 * x + 4 = 169 o

5 * x ^ 2 + 8 * x-165 = 0 por Bascara

x = (- 8 + SQRT (64 + 20 * 165)) / 10 = 5

5 ^ 2 + 12 ^ 2 = 13 ^ 2

Answer 6

Hagámoslo usando álgebra.

Deje que el lado ancho (más corto) sea x

Deje que el lado más largo (longitud) sea x + 2

El teorema de Pitágoras es largo ^ 2 + ancho ^ 2 = 13 ^ 2 (diagonal ^ 2)

x ^ 2 + (x ^ 2 + 4x + 4) = 169

2x ^ 2 + 4x + 4 = 169

2x ^ 2 + 4x – 165 = 0

ax ^ 2 + bx + c = 0

Ecuación cuadrática

Resolver usando la fórmula cuadrática (más menos raíz cuadrada) b cuadrado menos cuatro ac, todo sobre 2a

1. x = (4-√1336) / 4 = 1-1 / 2√ 334 = -8.138 (rechazar, distancia o longitud / ancho no puede ser negativo)
2. x = (4 + √1336) / 4 = 1 + 1 / 2√ 334 = 10.138