2n .
Prueba Suponga que n> 2 (de lo contrario, nos quedamos sin una forma verdadera!) Cada lado de la forma es un segmento de línea. Un segmento de línea puede intersecar un círculo en un máximo de dos puntos (el segmento debe ser una secante, no una tangente). Por lo tanto, el valor máximo posible es 2n.
¿Cuál es el mínimo? Considere un n-gon regular convexo centrado en el punto O. Se pueden construir dos círculos, también centrados en el punto O: el círculo A circunscribe el n-gon, el círculo B está inscrito dentro del n-gon. Los círculos A y B tienen n intersecciones con el n-gon: A tiene uno en cada vértice y B tiene uno en el punto medio de cada segmento de línea. Dado que estos puntos de intersección son distintos, los círculos A y B no son iguales, por lo que podemos construir el círculo C, también centrado en O, que su radio es menor que el de A pero mayor que el de B. Debido a la longitud de este radio , debe intersecar cada borde dos veces, por lo que el máximo más bajo posible también es 2n. Como el mínimo y el máximo son iguales, el valor debe ser 2n. QED