¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo dorado?

Answer 1

Los llamados rectángulos dorados vienen en diferentes tamaños. Lo que determina si un rectángulo es uno es si los lados A y B del rectángulo satisfacen la proporción

A + B : B = B : A

Esa es también la condición de cortar una línea en partes de longitudes A y B de “proporciones extremas y medias”. Vea los Elementos , Libro VI, Proposición 30 para el uso de Euclides de esa expresión. Esta relación particular, B : A , también se llama la proporción áurea.

Puedes encontrar esa razón por álgebra. Deje [math] x = B / A [/ math] para que [math] B = Ax. [/ Math] Entonces la proporción anterior se pueda escribir como

[matemática] \ frac {A + Axe} {Ax} = \ frac {Axe} A [/ math]

que se simplifica a

[matemáticas] 1 + x = x ^ 2 [/ matemáticas]
o
[matemáticas] x ^ 2-x-1 = 0 [/ matemáticas]

que tiene la solución positiva

[matemáticas] x = \ frac {1+ \ sqrt5} 2. [/ matemáticas]

A veces ese número en particular se llama la proporción áurea.

Hay otras formas de describir la condición. Se podría decir que el rectángulo con lados A por A + B tiene la misma área que el cuadrado B por B. Esa es la condición que Euclides usó en su construcción en el Libro II, Proposición 11.

Answer 2

[matemáticas] \ phi = \ frac {1+ \ sqrt {5}} {2} \ aprox 1.61803399 [/ matemáticas]