¿Qué es una forma modular?

Answer 1

La pregunta “¿Qué es X?” No es, en mi experiencia, una pregunta útil para un laico en matemáticas. Por lo general, la primera respuesta que obtendrá es una definición. Las definiciones tienen un propósito en matemáticas, pero iluminar a los legos no es una de ellas. El uso principal de las definiciones, en mi opinión, es ayudar a dos matemáticos (por ejemplo, un autor de libros de texto y un alumno) a asegurarse de que están hablando de lo mismo.

Una pregunta más útil es “¿qué hacen los Xes?” Entonces, ¿qué hacen las formas modulares? Las formas modulares proporcionan una clase de funciones muy interesante. Son interesantes por varias razones, incluidas, entre otras, las siguientes:

• Tienen mucha simetría , análoga pero más complicada que la periodicidad de funciones como seno y coseno. También tienen buenas propiedades analíticas. Este par de hechos permite probar afirmaciones sólidas sobre formas modulares.
• No hay muchos de ellos en cierto sentido; en consecuencia, a menudo se da el caso de que una forma modular construida de una manera es igual a una forma modular construida de otra manera, y esto generalmente da una identidad interesante .
• Están relacionados con las curvas elípticas (http://en.wikipedia.org/wiki/Ell…). No estoy hablando de Taniyama-Shimura-Weil, que es muy sofisticado; Las formas modulares están relacionadas con las curvas elípticas de una manera más básica, aunque explicar esta relación requiere un poco de trabajo. Como dice Daniel McLaury, la palabra clave aquí es “espacio de módulo”.
• Sus coeficientes de Fourier (http://en.wikipedia.org/wiki/Fou…) a menudo codifican secuencias interesantes (http://en.wikipedia.org/wiki/Gen…). Por ejemplo, la serie Eisenstein (http://en.wikipedia.org/wiki/Eis…) tiene coeficientes relacionados con el conteo de divisores de números. Más espectacularmente, según el teorema de la modularidad (http://en.wikipedia.org/wiki/Mod…), anteriormente la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil, los coeficientes de algunas formas modulares están relacionados con los recuentos del número de puntos en elíptica curvas modulo a prime (http://en.wikipedia.org/wiki/Mod…).

La simetría sin miedo de Ash y Gross (http://press.princeton.edu/title…) es una gran introducción popular a algunas de las ideas que rodean el teorema de la modularidad. (Tenga en cuenta que “popular” no significa “fácil”).

Answer 2

Una función modular es una función “agradable” (es decir, meromórfica) que asigna un número a cada curva elíptica. (Aquí se usa el adjetivo “modular” porque son funciones en el “espacio de módulo de curvas elípticas”. Un espacio de módulo es un espacio cuyos puntos parametrizan una familia de objetos geométricos).

Las formas modulares son una clase más amplia de funciones que incluyen las funciones modulares (específicamente, las funciones modulares son “formas modulares de peso cero”) con las que es más fácil trabajar que las funciones modulares solas.