¿Qué geometría sigue la naturaleza? ¿Es superior la geometría euclidiana?

Answer 1

Vamos a aclarar algo aquí: parece haber cierta confusión sobre lo que es la geometría euclidiana. Usando un pequeño movimiento de la mano, un espacio euclidiano tiene una función de longitud de línea conocida como el teorema de Pitágoras:

[matemática] distancia = \ sqrt {\ Delta x ^ 2 + \ Delta y ^ 2 + \ Delta z ^ 2} [/ matemática]

Un espacio plano es un espacio en el que la función de longitud de línea es constante en todo el espacio y el tiempo. En otras palabras, la función de longitud de línea de un espacio plano funciona en cualquier parte del universo en todo momento.

Según esta definición, el espacio euclidiano es plano: depende solo de la distancia entre puntos, pero no de la ubicación del punto.

Otro espacio plano se llama espacio de Relatividad Especial (SR):

[matemática] s ^ 2 = -c ^ 2 \ Delta t ^ 2 + \ Delta x ^ 2 + \ Delta y ^ 2 + \ Delta z ^ 2 [/ matemática]

El punto importante aquí es que el espacio SR no es euclidiano sino plano.

Un espacio curvo, en contraste con un espacio plano, tiene una función de distancia que varía según el espacio y / o el tiempo. Por ejemplo, según la Relatividad General (GR), la función de distancia en un campo gravitacional débil de un objeto de masa M:

[matemáticas] s ^ 2 = – (1 – 2 {\ frac {GM} {r}}) c ^ 2 \ Delta t ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] + (1 + 2 {\ frac {GM} {r}}) (\ Delta x ^ 2 + \ Delta y ^ 2 + \ Delta z ^ 2) [/ matemáticas]

Como podríamos esperar, la función de distancia depende de la masa del objeto. Pero también depende de la distancia del objeto, lo que significa que depende de la ubicación misma.

Si nos movemos infinitamente lejos del objeto [math] (r {\ rightarrow} \ infty) [/ math], la función de distancia GR de gravitación débil se convierte en la función de distancia SR.

No confunda los términos plano , curvo y euclidiano .

No creo en absoluto que los humanos tengan una preferencia natural o predisposición hacia la geometría euclidiana. Creo que, como niños muy pequeños, exploramos el mundo externo con la vista y el tacto, y con la extensión limitada disponible, la aproximación de la geometría euclidiana funciona bien, y después de un tiempo se convierte en algo natural.

Answer 2

Hice una hermosa trigonometría para fenómenos caóticos: folleto 2015. Básicamente es una geometría plana construible usando solo una brújula clásica , colapsando cuando se levanta de la página: construcción de brújula. Esta construcción mínima simplifica enormemente los cálculos, desde simulaciones pesadas, hasta aritmética ágil en tiempo real.

Caos determinista desde el punto cero.

(Intervalo de tiempo de 4 ms)

Las ventajas:

• ¿Por qué se considera en sentido antihorario como movimiento theta positivo?
• ¿Cómo se define formalmente sin (x) sin usar series?
• ¿Podría haber geometría cuyo diámetro a la circunferencia no sea pi?
• ¿Es realmente imposible construir un círculo perfecto?

Caos en la naturaleza, súper tifón Haiyan.

Aplicaciones:

• ¿Por qué es tan importante la teoría de la turbulencia?
• ¿Los números aleatorios son realmente aleatorios si se generan a partir de algoritmos?
• ¿Es sostenible la industria de las telecomunicaciones?

Answer 3

Buena pregunta. A una aproximación aproximada, parece que los humanos prefieren la geometría euclidiana (cuboides, planos, cilindros) y la naturaleza prefiere la geometría fractal (árboles, nubes, montañas, grietas).

La razón por la que la naturaleza prefiere la geometría fractal es probablemente una combinación de:

• Tiene baja complejidad de Kolmogorov (mecánica simple para formas complejas)
• La geometría fractal (cualquier dimensión fraccional) generaliza la geometría euclidiana (solo dimensiones enteras), por lo que es estadísticamente más probable
• las formas fractales a menudo optimizan alguna medida, por ejemplo, los huesos de ave con forma de esponja maximizan la relación fuerza / peso, los ríos maximizan la cobertura. Y gran parte de la naturaleza ha evolucionado o, naturalmente, optimiza tales cosas.
• muchos mecanismos actúan igual en muchas escalas … por ejemplo, las rocas se rompen y se convierten en rocas más pequeñas de manera similar en muchas escalas diferentes, el resultado de las leyes de poder resultantes es una distribución o forma fractal.
• La vida crece, por lo que naturalmente tiene una forma de simetría de escala

La razón por la cual los humanos prefieren la geometría euclidiana es probablemente una combinación de:

• La geometría fractal se descubrió hace relativamente poco, Euclidiana ha estado en nuestras mentes por miles de años.
• Las estructuras euclidianas son más fáciles de hacer, limpiar y pintar.
• Las estructuras euclidianas se apilan / embaldosan más fácilmente (particularmente las rectilíneas)
• los objetos construidos no crecen, por lo que no existe una simetría de escala implícita

Answer 4

Bueno, no sé sobre geometría sagrada (ver primera respuesta), me parece un sinsentido sobre pilotes, pero creo que puedo responder a su pregunta, o mejor dicho, aclarar la confusión que inspiró la pregunta.

Sería correcto decir que tenemos una mente que naturalmente representa las cosas en escalas euclidianas, que después de todo es la forma aproximada de nuestro entorno de adaptabilidad evolutiva, no somos tan grandes como las estrellas después de todo, y las áreas locales de la tierra generalmente suma a una curvatura plana, es decir, espacio euclidiano (aunque la tierra en su conjunto, como saben, es una esfera, lo que significa que tiene una curvatura positiva agregada). Pero esto es solo para decir lo obvio (y Kant lo señaló sin el lenguaje evolutivo hace bastante tiempo): nuestras mentes pueden estar estructuradas para que no podamos morir en nuestro entorno evolutivo, pero eso no significa que así sea el mundo. estructurado. Nuestras mentes a menudo nos engañan sobre la naturaleza del mundo, especialmente sobre la física, y hay una literatura vasta e interesante en la filosofía de la ciencia sobre conceptos populares en física y otras áreas del mundo (psicología, etc.). Dejando de lado la pregunta de la ciencia cognitiva sobre cómo está estructurada nuestra mente, podemos llegar a su pregunta sobre la geometría:

La geometría a la que se ajusta el universo es la geometría que realmente tiene en cualquier punto dado: al igual que una colina tiene una curvatura positiva (todas las líneas paralelas, aquí llamadas geodésicas, eventualmente se cruzan) y el campo al lado no lo hace (es totalmente euclidiana) y el valle adyacente tiene una curvatura negativa. Preguntando qué geometría es más apropiada para el mundo, una que adopte el argumento de la línea paralela de Euclides (en resumen, ellas, las líneas paralelas, nunca se cruzan) o una que adopte una de las otras dos posibilidades (curvatura infinitamente positiva -esferas o elíptica- o la curvatura infinitamente negativa -toroides o hiperbólicas-) es la pregunta incorrecta porque no es empírica, es como preguntar cuál debería funcionar mejor para la colina o el valle o el campo; la que lo describe es la que funciona mejor.
Estás preguntando a priori cuál es la geometría más verdadera del universo, Euclidiana o Nouclidiana, y ese tipo de pensamiento es exactamente lo que fue socavado por el trabajo de los matemáticos en la primera parte del siglo XIX que “descubrieron” la geometría nouclidiana. . La geometría pasó de un proyecto de construcción de conocimiento que era racionalmente a priori a la experiencia (un proyecto que no requería ningún mundo para ser verdad pero que, sin embargo, describía el mundo) a un proyecto que tenía como uno de sus axiomas fundamentales una variable que debía establecerse por los hechos empíricos del mundo, a medida que los descubrimos (esa variable es la línea paralela postulado / axioma).

Para repetir, la geometría apropiada para un área es simplemente un hecho empírico sobre el mundo que cambia según la parte del mundo que esté mirando: por lo que algunas partes del espacio-tiempo son planas (euclidianas) y otras son curvas. Es cuestión de debate cuál es la curvatura promedio agregada del universo, aunque creo que la mayoría de los cosmólogos están a favor de un modelo inflacionario que moldee el universo en un hipertoroide (como una silla de montar). Si quieres ser grandioso, cualquier geometría que tenga nuestro universo es la que sea más apropiada para el universo, pero el cambio conceptual que obligó a la geometría a admitir que necesitaba retroalimentación del mundo acabó con la concepción romántica de que la geometría euclidiana es algún tipo de especial y perfecto ejemplo de conocimiento.

Por cierto, no estamos nosotros y el resto de la naturaleza (como sugiere la última parte de su pregunta), solo hay naturaleza, y somos parte de ella.
Espero que todo esto ayude.