¿Cuál es la prueba más simple de entender de la existencia del círculo de nueve puntos de un triángulo?

Answer 1

En el triángulo [matemática] ABC [/ matemática] con ortocentro [matemática] H [/ matemática], deje que [matemática] M_A, M_B, M_C [/ matemática] sean los puntos medios de los lados, [matemática] H_A, H_B, H_C [ / math] los pies de las altitudes, y [math] E_A, E_B, E_C [/ math] los puntos medios de [math] HA, HB, HC [/ math].

(figura de Wolfram MathWorld)

Como [math] \ triangle M_AE_CE_B [/ math] es el triángulo medial de [math] \ triangle HBC [/ math], los lados correspondientes son paralelos; de manera similar para triángulos mediales [matemática] \ triángulo M_BE_AE_C [/ matemática] de [matemática] \ triángulo HCA [/ matemática] y [matemática] \ triangular M_CE_BE_A [/ matemática] de [matemática] \ triangular HAB [/ matemática]. Entonces

[matemática] E_AE_B \ paralela AB \ perp CH_C \ paralela M_AE_B [/ matemática],

[matemática] E_AE_C \ paralela AC \ perp BH_B \ paralela M_AE_C [/ matemática].

Los tres ángulos rectos

[matemática] \ angle E_AE_BM_A = \ angle E_AE_CM_A = \ angle E_AH_AM_A = 90 ^ \ circ [/ math]

implica que [math] M_A, H_A [/ math] se encuentran en el círculo de [math] E_A, E_B, E_C [/ math]. Del mismo modo, [matemáticas] M_B, H_B, M_C, H_C [/ matemáticas] también se encuentran en ese círculo.

Answer 2

No diría que esta es la prueba más simple posible del concepto, pero consideraría esta prueba bastante discernible para cualquier estudiante con experiencia en matemáticas de la escuela secundaria. Se me ocurrió esta prueba unos meses después en mi undécimo estándar y, por lo tanto, no tiene ninguna geometría de coordenadas involucrada. La prueba involucra un par de construcciones simples y geometría estándar de círculos.

Antes de profundizar en la prueba, me gustaría dar un breve resumen del concepto. ABC es un triángulo con AD, BE y CF como altitudes. ▲ DEF se llama el triángulo ortico de ▲ ABC; El triángulo órtico es un tipo especial de triángulo de pedal ( http://en.wikipedia.org/wiki/Ped …). El círculo de ▲ DEF es lo que se conoce como el círculo de 9 puntos. Se llama así porque pasa por 9 puntos especiales, es decir, D, E, F, Am, Bm, Cm, Ae, Be y Ce.

PD: El ortocentro de ▲ ABC es el incentivo de ▲ DEF que se hará evidente durante el curso de la prueba.

D, E, F es aparente. Lo que debemos demostrar es que Am es el punto medio de BC y Ae es el punto medio de AH; La extensión es válida para los tres lados.

Construcciones : Une Ce a Bm & E.

Prueba:

Patio. DHEC es cíclico como 90 grados.
Por lo tanto, por lo tanto,

Ahora,

por lo tanto,

En ▲ CHE
En ▲ CeEH
por lo tanto,

lo que significa CeE = CeH —— (ii)

De (i) y (ii)

CeC = CeH

lo que prueba la primera parte de nuestro problema y puede extenderse a los otros dos lados.

Pasando a la segunda parte, donde tenemos que demostrar que Am es el punto medio de BC y, en adelante, la prueba es la siguiente.

Ahora en ▲ CeBmC y ▲ CHA

Por lo tanto, los dos triángulos son similares.
por lo tanto (CBm / CA) = (CCe / CH)

lo que significa CBm = ABm

Por lo tanto, Bm es el punto medio de AC y puede extenderse a los otros dos lados.

PD: He tratado de dilucidarlo lo más posible.