Imagine que ata una cuerda alrededor de la circunferencia de la Tierra y agrega 3 pies a su longitud. ¿Qué tan lejos de la superficie de la Tierra estaría?

Answer 1

De hecho, este desafío para la mente no requiere una medición exacta de la circunferencia de la Tierra (que, de hecho, varía en muchos kilómetros dependiendo de la circunferencia que mida), ni siquiera una suposición de que la Tierra tiene una sección transversal circular (que, de hecho, , no es asi). Es el caso de que si toma una forma plana convexa y coloca una cuerda [math] \ tfrac {3} {2 \ pi} \, \ textrm {ft} [/ math] fuera de su límite, la cuerda será [math] 3 \, \ textrm {ft} [/ math] más largo que el perímetro de la forma.

(El supuesto de convexidad se puede relajar un poco; ver comentarios).

Como una generalización aún más, puede tomar dos formas planas convexas (como la sección transversal de la Tierra y un círculo de circunferencia [math] 3 \, \ textrm {ft} [/ math]); entonces el perímetro de su suma Minkowski es igual a la suma de sus perímetros.

Answer 2

La fórmula para la circunferencia de un círculo es:

[matemáticas] p = 2 \ pi r [/ matemáticas]

Si aumenta la circunferencia del círculo en 3:

[matemáticas] p + 3 = 2 \ pi r ‘[/ matemáticas]

donde r ‘es el nuevo radio. Resolviendo para r ‘:

[matemáticas] \ frac {p + 3} {2 \ pi} = r ‘[/ matemáticas]

Puedes separar:

[matemáticas] \ frac {p} {2 \ pi} + \ frac {3} {2 \ pi} = r ‘[/ matemáticas]

Sabemos por la primera fórmula que

[matemáticas] \ frac {p} {2 \ pi} = r [/ matemáticas]

Sustituyendo, obtenemos:

[matemáticas] r + \ frac {3} {2 \ pi} = r ‘[/ matemáticas]

Y esa es nuestra respuesta: el nuevo radio es el radio original más [matemáticas] r + \ frac {3} {2 \ pi} \ aprox .5 [/ matemáticas]. La altura adicional es la misma independientemente de si el radio original es cero (que le indica el radio de un círculo con una altura de 3 pies) o el tamaño de la tierra.

Answer 3

De hecho, hay dos formas de entender este problema en función de lo que sucede con la holgura. Los otros respondedores suponen que la cuerda está suspendida a una altura igual sobre la superficie de la tierra, aunque, como Jack Dahlgren señala, no hay un mecanismo obvio para que esto suceda.

Una segunda posibilidad interesante que produce un resultado más sorprendente es tomar la holgura y levantarla en un solo punto lo más alto posible. Cuando la cuerda está apretada, tienes dos lados de un triángulo que son tangenciales a la superficie de la tierra. La pregunta entonces es qué tan alto está el vértice del triángulo sobre la superficie de la tierra.

La imagen de arriba muestra el cinturón estirado hasta un punto
sobre la tierra, obviamente muy exagerado. Queremos medir h .

Si resolvemos el problema en pies:

r es 20.92 × 10 ^ 6 pies

α es el ángulo (en radianes) formado en el centro de la Tierra por los radios desde el punto tangencial y el vértice

x = r α + 1.5 (hay 3 pies de holgura divididos equitativamente entre cada lado)

entonces podemos decir:

x = r tan ( α )

y:

r α + 1.5 = r tan ( α )

Podemos usar la aproximación de Taylor para tan (x) = x + x3 / 3 + 2 × 5/15 + …

r α + 1.5 = r α + r α ^ 3/3 + 2 r α ^ 5/15

el tercer término es muy pequeño, por lo que podemos ignorarlo y podemos decir:

α ^ 3 = 4.5 / r

entonces α = 0.0059917 radianes

r α = 125346.427 pies y

x = 125347.927 pies

Usando Pitágoras para resolver h , la altura,

( R + h ) ^ 2 = r ^ 2 + x ^ 2

obtenemos 375.5 pies sobre la superficie de la tierra, lo cual es un resultado algo contra-intuitivo. En otras palabras, agregar solo 3 pies a la cuerda nos permite generar suficiente holgura para levantar la cuerda sobre un rascacielos de tamaño decente.

Answer 4

Suponiendo que tenemos medidas de la circunferencia y el diámetro de la Tierra dentro de suficientes dígitos significativos para que la respuesta a esta pregunta sea significativa (que no he podido encontrar), la respuesta se puede encontrar mediante la siguiente fórmula:

(Diámetro de la Tierra en pies + “X”) = (Circunferencia de la Tierra en pies + 3) / pi

donde “X” es el número de pies que el diámetro de la cuerda es mayor que el de la Tierra. Divide X entre 2 para obtener la distancia de la superficie de la Tierra que sería el centro de la cuerda.