No en realidad no. No se me ocurre ninguna cosa “natural” y útil que pueda hacer con dicho sistema. Esto se debe en parte a que los números de Fibonacci no son realmente tan comunes en la naturaleza, y en parte porque incluso si lo fueran, un sistema de este tipo sería muy difícil de manipular y usar.
Escribes “una buena base” pero “Fibonacci” no es realmente una “Base”. Sí, hay una manera de representar enteramente números enteros como sumas de números de Fibonacci; esto a veces se llama la representación de Zeckendorf. Simplemente dice que cada número natural es la suma de (uno o más) números distintos de Fibonacci no consecutivos de una manera única. “No consecutivo” significa que los números de Fibonacci que usa no pueden ser adyacentes en la secuencia de Fibonacci.
Recordemos que la secuencia es:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
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Suprimimos el 1 inicial adicional (y un posible 0) ya que son irrelevantes para esta representación. Ahora, por ejemplo, 30 = 21 + 8 + 1 es la forma única de expresar 30 como tal suma; tenga en cuenta que 1, 8, 21 no están uno al lado del otro en la secuencia. La expresión 30 = 21 + 5 + 3 + 1 es ilegal ya que viola la regla no adyacente.
Entonces, si está realmente inclinado, puede escribir 30 = 1010001f donde el número a la derecha es una “representación de Fibonacci” de 30, con 1 representando las ubicaciones de los números de Fibonacci que necesita (el 1 más a la derecha es 1, el más a la izquierda es 21)
Es una representación ordenada, que requiere solo los dígitos 0 y 1 y nunca tener dos 1 sucesivos. Sin embargo, desde una perspectiva matemática es poco más que una curiosidad, y desde un punto de vista práctico es una broma. Intenta diseñar un algoritmo para la multiplicación en esta base.
El cuento “común en la naturaleza” es un mito divertido perpetuado por los libros de matemáticas populares. Claro, puedes ver los números de Fibonacci en piñas y piñas y girasoles (además de los conejos proverbiales e inmortales de apareamiento), pero eso está muy lejos de ser “comúnmente visto”. No conozco ningún Fibonaccis en ríos, quásares, mariposas, nubes, virus, armadillo o sauces.
EDITAR: la pregunta se editó para incluir la “proporción áurea” como base potencial. La respuesta aún se aplica aunque, por supuesto, los detalles de la representación son diferentes (ver “Base de proporción áurea” en Wikipedia, por ejemplo). No creo que nadie piense que es divertido escribir “1010.0001” en lugar de “6”.
Además, en un nivel superior, creo que hay una vaga creencia de que si solo cambiamos a la base “correcta”, “natural” o al sistema de escribir números, entonces la vida sería mejor, la ciencia se volvería fácil y la gente viviría en paz armonía. No estoy acusando al OP de sostener tales creencias, solo señalar que existen y extenderse un poco más allá de los círculos de las bromas matemáticas. Supongo que está bastante claro que no creo que tales creencias tengan ningún mérito.