¿Se ha usado alguna vez el paquete de suma de todos los paquetes de productos tensoriales?

Answer 1

tl; dr: se muestran en K-Theory para múltiples con ‘grupos K polinomiales’.

En una clase de topología algebraica, uno aprende de “espacios con cohomología polinómica”. [0] Muchos espacios comunes tienen cohomología polinómica y el conjunto de múltiples con cohomología polinomial es bastante importante en física. [1] Los espacios de la cohomología polinómica tienen su anillo de cohomología isomorfo a algún anillo de polinomios sobre un anillo (generalmente conmutativo, con identidad) [matemática] R [/ matemática]. Por ejemplo, tenemos isomorfismos como [math] H ^ {\ bullet} (\ mathbb {CP} ^ n) \ cong \ mathbb {Z} [X] / (X ^ {n + 1}) [/ math] y [math] H ^ {\ bullet} (\ mathbb {RP} ^ n) \ cong \ mathbb {Z} _2 [X] / (X ^ {n + 1}) [/ math]. De manera más informal (y como ejemplo), [math] \ mathbb {Z} [X] / (X ^ 3) [/ math] significa polinomios de grado estrictamente menor que 3, con coeficientes enteros.

Entonces, ¿qué es la teoría K? K-Theory intenta construir un anillo graduado muy similar que se coloca en el conjunto de todos los paquetes de vectores sobre una variedad, denotado [math] \ mathsf {Vect} (M) = \ oplus_ {k = 1} ^ {\ infty} \ mathsf {Vect} _k M [/ math], donde [math] \ mathsf {Vect} _k M [/ math] es el conjunto de paquetes de vectores de rango [math] k [/ math] sobre [math] M [/ math ] Inicialmente, esto me pareció absurdo porque “intuitivamente” (¡e incorrectamente!) Primero sentí que [math] \ mathsf {Vect} (M) [/ math] es un espacio “enorme” de dimensión infinita. Sin embargo, olvidé recordar que el espacio de las formas [matemática] 0 [/ matemática] también es un espacio de dimensión infinita (en algún momento con una dimensión incontable) que de alguna manera convertimos en un objeto muy manejable con la cohomología.

Hay relaciones de equivalencia que podemos implementar para convertir [math] \ mathsf {Vect} (M) [/ math] en un anillo, pero primero motivemos la construcción. Recuerde que para la cohomología, primero definimos lo que significa ser trivial: una forma es ‘trivial’ si es exacta (o en la imagen del operador del límite). Luego usamos una relación de equivalencia para modificar las formas triviales y descubrir lo que queda. Más precisamente, usamos la relación de equivalencia [matemática] \ omega \ sim \ omega ‘\ iff \ omega = \ omega’ + \ delta \ eta [/ math], donde [math] \ omega, \ omega ‘[/ math] son [math] k [/ math] -cochains, [math] \ eta [/ math] es una [math] k-1 [/ math] -cochain y [math] \ delta [/ math] es el operador de límite.

En el caso de los paquetes de vectores, comencemos por definir qué significa “trivial”. Hay un candidato obvio: el conjunto trivial de rango- [matemáticas] n [/ matemáticas] [matemáticas] \ epsilon ^ n = M \ veces \ mathbb {R} ^ n [/ matemáticas]. Maravilloso. Ahora necesitamos una operación de grupo abeliano para definir qué significa ‘+’. Tenemos un candidato natural, la suma de Whitney de dos paquetes: [math] V_1 \ oplus V_2 [/ math]. Ahora podemos aplicar una relación de equivalencia:
[matemática] V_1 \ sim V_2 \ iff V_1 \ oplus \ epsilon ^ {n} \ cong V_2 \ oplus \ epsilon ^ {m} [/ math]. [2]
¡Excelente! Ahora necesitamos una estructura de producto de copa, ¿verdad? Bien, los paquetes de vectores tienen un producto agradable y natural, el paquete tensorial [matemática] V_1 \ otimes V_2 [/ matemática]. Con un poco más de esfuerzo [3], se puede demostrar que estas dos operaciones (bajo la relación de equivalencia anterior) conducen a un anillo [matemático] \ tilde {K} (X) [/ matemático] que es un cociente de [matemático] \ mathsf {Vect} (M) [/ math].

Bien, ahora que tenemos esta estructura de anillo en el conjunto de paquetes de vectores, ¿qué son exactamente estas sumas / productos por los que está preguntando? Considere una variedad [matemática] M [/ matemática] con [matemática] \ tilde {K} (M) \ cong \ mathbb {Z} [X] [/ matemática] y suponga que el paquete que tiene no es idempotente en este anillo. Entonces corresponde a la serie de potencia,

[matemáticas] 1 + X + X ^ 2 + X ^ 3 + \ cdots [/ matemáticas]

Sin embargo: muchos paquetes que parecen “triviales” al principio, resultan no serlo. Por ejemplo, consideremos [math] \ tilde {K} (S ^ 1) [/ math], el grupo K reducido del círculo. Hay dos generadores: el paquete trivial (por ejemplo, un cilindro) y la tira de Möbius:

Sin embargo, resulta que la suma directa de dos tiras de Möbius es isomorfa como un paquete de vectores a un paquete trivial (rango-2) de modo que el [math] \ tilde {K} (X) \ cong \ mathbb {Z} [ X] / (X ^ 2) [/ matemáticas]. Desafortunadamente, los grupos K tienden a ser mucho más difíciles de calcular que los grupos de cohomología, por lo que realmente no conozco muchos ejemplos fuera de los grupos K de varias esferas.

Solo una nota final: una de las locuras de la teoría K es algo conocido como Periodicidad de Bott :

[matemáticas] K (X) \ cong K (S ^ 2 X) [/ matemáticas]

donde [math] SX [/ math] es la suspensión de [math] X [/ math] [4]. Así es como se ve una suspensión cuando [matemática] X = S ^ 1 [/ matemática], el círculo:

Esto se puede usar para demostrar que las únicas álgebras de división en el conjunto [math] \ {\ mathbb {R} ^ k: k \ in \ mathbb {N} \} [/ math] son ​​[math] \ mathbb {R} ^ 1, \ mathbb {R} ^ 2, \ mathbb {R} ^ 4 [/ math] y [math] \ mathbb {R} ^ 8 [/ math]. También hay una forma interesante de relacionar los grupos K con los grupos de homotopía y la Periodicidad de Bott encuentra algún uso en Física a través de esta conexión. En particular, se encuentra que los grupos de homotopía de ciertos grupos matriciales (por ejemplo, [math] SO (n) [/ math]) son periódicos. Vea la descripción del gran laico de John Baez aquí [5]. Nota: Estoy ignorando los detalles sobre el homomorfismo J aquí, lo siento.

En términos de la suma que proporcionó, creo que para la mayoría de los espacios encontrará que se truncará efectivamente después de algún punto porque la mayoría de los grupos K con los que se trata son generados por elementos nilpotentes. Es decir, un generador [matemática] g [/ matemática] de [matemática] \ tilde {K} (X) [/ matemática] probablemente tenga [matemática] g ^ {\ oplus n} = \ epsilon ^ 0 [/ matemática] . Si está buscando un ejemplo en el que desee considerar el producto directo (en lugar de la suma directa) sobre [math] \ mathsf {Vect} (M) [/ math] (para obtener una serie infinita) , Sospecharía que el grupo K de algún tipo de Grassmannian en un espacio lo suficientemente retorcido podría funcionar. Dicho esto, solo conozco un poco de teoría K topológica y estoy seguro de que existe un algebraista (que estudia la teoría K algebraica) que ha analizado dichos paquetes en general antes. Quizás el usuario de Quora o Daniel McLaury puedan conocer un ejemplo explícito.

[0] Ver Topología algebraica de Allen Hatcher, Sección 3.3. Disponible gratis aquí: http://www.math.cornell.edu/~hat…
[1] http://arxiv.org/abs/hep-th/0007175
[2] Cuando escribo ‘isomorphic to’ en esta declaración, me refiero a isomorphic como paquetes de vectores. Además, solo voy a hablar sobre los grupos K reducidos [matemáticas] \ tilde {K} (X) [/ matemáticas] porque son más fáciles de trabajar y uno tiene el isomorfismo [matemáticas] K (X) \ cong \ tilde {K} (X) \ oplus \ mathbb {Z} [/ math]. Los grupos K requieren una declaración más fuerte: [matemáticas] m = n [/ matemáticas] y si esta condición se cumple, los dos paquetes se conocen como isomorfos estables .
[3] Véanse las secciones 2.1, 2.2 de los Paquetes de vectores de Allen Hatcher y K-Theory. Disponible gratis aquí: http://www.math.cornell.edu/~hat…
[4] http://en.wikipedia.org/wiki/Sus…
[5] http://math.ucr.edu/home/baez/we…