Suponga que está a una distancia d de la superficie de un planeta de radio R. Como dijiste, la cantidad de superficie que puedes ver depende de la posición en el círculo cuya línea tangente intersecta tu ubicación. Por definición, la línea tangente que se cruza con usted también forma un ángulo de 90 grados con la línea desde el punto del círculo hasta el centro, como se muestra a continuación:
Esto forma un triángulo rectángulo con una pata de longitud R y una hipotenusa de longitud R + d . El medio ángulo de la porción del planeta que es visible para usted está etiquetado como theta. Al examinar el triángulo rectángulo arriba, encontramos que este ángulo viene dado por:
[matemáticas] \ cos \ theta = \ frac {R} {R + d} [/ matemáticas]
Como queremos saber la porción de una esfera que podemos ver, no la porción de un círculo, tenemos que convertir esto a un ángulo sólido usando la fórmula para un cono o una tapa esférica:
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[matemáticas] \ Omega = 2 \ pi (1- \ cos \ theta) [/ matemáticas]
http://en.wikipedia.org/wiki/Sol…
Al conectar nuestra ecuación anterior para obtener [math] \ cos \ theta [/ math] se obtiene:
[matemáticas] \ Omega = 2 \ pi \ izquierda (1- \ frac {R} {R + d} \ derecha) [/ matemáticas]
Dado que el ángulo sólido de una esfera completa es [matemática] 4 \ pi [/ matemática], la proporción de la superficie del planeta que podemos ver viene dada por:
[matemáticas] \ mathrm {visible \, porción} = \ frac {\ Omega} {4 \ pi} = \ frac {1} {2} \ left (1- \ frac {R} {R + d} \ right) [/matemáticas]
o equivalente:
[matemática] \ matemática {visible \, porción} = \ frac {1} {2} \ izquierda (1- \ frac {1} {1+ \ frac {d} {R}} \ derecha) [/ matemática]
Como era de esperar, esto se acerca a 0.5 a medida que te alejas más y más del planeta:
Para ver el 49,9% del planeta, tendrías que estar a 499 radios de la superficie, o 500 radios del centro. Es decir, d = 499 * R.