Primero, comencemos con la forma más simple y la declaración clásica del teorema de Stokes.
El teorema de Georges Stokes apareció por primera vez impreso en 1854.
Sea S una superficie orientada lisa por partes en [math] \ mathbb {R} ^ n [/mathfont>. El límite C de S es una curva cerrada simple lisa por partes, dirigida de acuerdo con la orientación dada en S . Si una función vectorial F tiene derivadas continuas, entonces:
- ¿Qué tienen de especial las esferas?
- Si el universo pudiera explicarse como una forma geométrica, ¿qué forma sería?
- ¿En cuántos ejes únicos puede rotar una esfera simultáneamente?
- Geometría: ¿Cómo se divide un ángulo?
- ¿Buckminster Fuller creó una geometría sin necesidad de pi? ¿Es necesario pi?
El teorema de Stokes también se puede expresar en notación tensorial e índice (o indicial):
Una versión generalizada del teorema de Stokes, que incluye el teorema original de Stokes, el teorema de Green y el teorema fundamental del cálculo como casos especiales y es aplicable en todas las dimensiones, utiliza la integración de formas diferenciales.
Una forma diferencial ([math] \ omega) [/ math] es esencialmente un objeto en un múltiple diferencial M, puede integrarse sobre un conjunto n-dimensional como una integral múltiple, pero independiente de la elección de cualquier sistema de coordenadas.
Esta versión del teorema de Stokes establece que la integral de la derivada (exterior) de una forma diferencial sobre un volumen específico es igual a la integral de la forma dada sobre el límite del volumen.
Aquí está el teorema de Stokes generalizado expresado en términos más técnicos:
Sea U cualquier variedad compacta k- dimensional con límite, de modo que [matemática] \ parcial U [/ matemática] es una variedad dimensional k -1 con la orientación límite.
Si [math] \ omega [/ math] es una forma suave ( k -1) en U , entonces:
[matemáticas] \ int _ {\ parcial U} \ omega = \ int _U \ text {d $ \ omega $} [/ matemáticas]
Finalmente, aquí hay un texto sobre la historia del teorema de Stokes y su declaración generalizada usando formas diferenciales:
Para 1922, Cartan había extendido su trabajo sobre expresiones diferenciales en [ Leçons sur les invariants intégraux ] . Es aquí donde primero usa la terminología actual de “forma diferencial exterior” y “derivada exterior”.
[…] La notación “d” para derivada exterior fue utilizada en 1902 por Theodore DeDonder en [ Etude sur les invariants integraux ], pero no nuevamente hasta que Erich Kahler la reintrodujo en su libro de 1934 Einführung en die Theorie der Systeme von Differentialgleichungen . Su notación es ligeramente diferente a la nuestra, pero en una forma más cercana a la nuestra fue adoptada por Cartan para un curso que dio en París en 1936-37 (publicado como Les Systèmes Différentiels Extérieurs et leurs Applications Géométriques en 1945). Aquí, después de discutir las definiciones de la forma diferencial [matemática] \ omega [/ matemática] y su derivada [matemática] \ text {d $ \ omega $} [/ matemática], Cartan señala que todos nuestros tres teoremas (que él los atributos de Ostrogradsky, Cauchy-Green y Stokes, respectivamente) son casos especiales de [math] \ int _C \ omega = \ int _A \ text {d $ \ omega $} [/ math] donde C es el límite de A. Para ser más específico, el teorema de Green es el caso especial donde \ omega es una forma 1 en 2 espacios; El teorema de Stokes es el caso especial donde \ omega es una forma 1 en 3 espacios; y el teorema de divergencia es el caso especial donde \ omega es una forma 2 en 3 espacios. Finalmente, Cartan afirma que para cualquier dominio p + 1-dimensional A con límite p-dimensional C, se podría demostrar la fórmula general de Stokes:
[matemáticas] \ int _C \ omega = \ int _A \ text {d $ \ omega $} [/ matemáticas]
Fuente: The History of Stokes ‘Theorem , por Victor J. Katz, Mathematics Magazine, vol. 52, núm. 3 (mayo de 1979), págs. 146-156
Vea también el artículo de Wikipedia sobre el teorema de Stokes.
