¿Es posible colocar más de cuatro puntos distintos en un sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales de modo que todos los puntos de interés sean equidistantes entre sí?

Answer 1

No es difícil explicar esto.

Al escalar, la distancia real que elegimos no importa, así que tratemos de obtener puntos que sean 1 unidad el uno del otro. Claramente, no importa con cuál comencemos, así que simplemente elige un punto y llámalo x. Ahora todos los puntos restantes que elegimos deben ubicarse en la esfera de la unidad centrada en x. Por simetría alrededor del punto x no importa qué punto elijamos, así que simplemente toma uno de los puntos en la esfera y llámalo y. Ahora, todos los puntos restantes que elegimos deben estar tanto en la esfera unitaria centrada en x como en la centrada en y. Estas esferas se cruzan en un círculo de radio [matemática] \ sqrt {3} / 2 [/ matemática] centrada en el punto medio entre x e y y normal a la línea entre ellas. Por simetría sobre la línea de x a y, no importa qué punto en este círculo escojamos, así que sigamos y escojamos uno y lo llamamos z. Ahora hay exactamente dos puntos en el círculo que son 1 unidad de z, y no están exactamente a una unidad de distancia entre sí. Entonces podemos elegir como máximo uno de ellos. Hazlo y llámalo w; entonces hemos eliminado todas las demás posibilidades, por lo que {w, x, y, z} es un conjunto máximo.

Answer 2

Como señala Daniel McLaury, esto no es posible en R ^ 3.

Sin embargo, puede poner un sistema de coordenadas cartesianas en un toro 3
(Ver Tres toros).

También vea mi respuesta a la pregunta 2D análoga …
Respuesta de Andrew Weimholt a ¿Es posible colocar más de tres puntos matemáticos de interés en un sistema de coordenadas cartesianas bidimensionales de modo que todos los puntos de interés sean equidistantes de todos los demás puntos de interés?

En un toro 3, puede tener hasta 7 puntos equidistantes.

Tome el 3-toro creado al pegar los lados opuestos del cubo [0,7] ^ 3,
y colocar 7 puntos en

(0,0,0), (1,2,3), (2,4,6), (3,6,2), (4,1,5), (5,3,1), (6 , 5,4)

Estos son congruentes con
(0,0,0), (1,2,3), (2, -3, -1), (3, -1,2), (-3,1, -2), (-2,3 , 1), (-1, -2, -3) mod 7

Como puede ver, todos son equidistantes del origen, y dado que todos los demás puntos son congruentes con un múltiplo escalar de <1,2,3> desde el origen, se deduce que todos son equidistantes entre sí.

El 3-torus se puede incrustar en R ^ 6, donde los puntos son los vértices de un 6-simplex regular en R ^ 6.

Answer 3

No te va a gustar esto, pero me dejaste el único vacío que puedo usar para responder afirmativamente a la pregunta. Suponga su diagrama cartesiano tridimensional estándar donde las coordenadas del punto A se expresan de la siguiente manera.

A = (x, y, z)

La configuración de los cinco puntos es la siguiente:

A = (0,0,0)
B = (0,0,0)
C = (0,0,0)
D = (0,0,0)
E = (0,0,0)

Esa es la única configuración. La prueba escapa a mi memoria, pero ¿por qué realmente necesitas una?

Answer 4

Si. Un tetraedro regular (4 vértices) con todas las caras como triángulo equilátero tiene todos los lados iguales. Por lo tanto, todos los vértices son equidistantes.