Geometría: ¿Por qué se ha aceptado que solo hay cinco sólidos platónicos?

Answer 1

Un polígono regular tiene lados y ángulos iguales. Un poliedro regular (también sólidos platónicos) tiene caras poligonales regulares iguales y vértices idénticos. Los sólidos platónicos son los únicos poliedros regulares convexos posibles . Todos estos sólidos tienen vértices idénticos, que también se pueden llamar “ángulos sólidos”. Es posible crear un ángulo sólido usando tres triángulos equiláteros alrededor de un punto (visto como una esquina en un tetraedro), cuatro triángulos equiláteros (visto en un octaedro), cinco triángulos equiláteros (visto en un icosaedro). Si seis triángulos equiláteros se ensamblan alrededor de un punto, se convierten en un hexágono bidimensional. El proceso puede repetirse con cuadrados para obtener un cubo y con pentágonos para lograr un dodecaedro. Si se ensamblan más polígonos alrededor de un punto en cualquier caso, se crea otro polígono. Estos polígonos no contienen un ángulo sólido y, por lo tanto, no se pueden usar para crear un vértice de otro sólido platónico.

Answer 2

La condición de que los ángulos de los polígonos alrededor de un vértice formen un “ángulo sólido” (es decir, que su suma sea inferior a 360 grados) es una condición necesaria pero no suficiente.

Pasé muchas horas prácticamente infructuosas (pero a su manera iluminadoras) tratando de construir el sólido con cuatro estrellas regulares de cinco puntas (polígonos de dos lados y medio) alrededor de cada vértice. El déficit angular es amplio (4 x 36 grados = 144 <360). Los poliedros con tres y cinco "pentagramas" alrededor de un vértice son bien conocidos: fueron reconocidos por Johann Kepler (siglo XVII), pero evidentemente se conocieron antes.

Entonces, ¿por qué no cuatro? Porque el ángulo entre los vértices creados cuando comienzas a poner cuatro pentagramas alrededor de cada vértice no es una fracción racional del ángulo sólido de una esfera completa. Esto es necesario para crear un poliedro finito. Si persiste en el proceso, simplemente creará más y más vértices sin límite.

Se reconoce que Cauchy (1789-1857) demostró que los cinco sólidos platónicos más los dos de Kepler más sus duales (caracterizados por Poinsot) agotan todas las posibilidades de disponer el mismo número de polígonos regulares alrededor de un vértice para crear un poliedro. Los poliedros Kepler-Poinsot no son “convexos”, por lo que no suelen clasificarse con los sólidos platónicos.

Mi francés no es malo, pero comprender las pruebas de Cauchy me ha superado hasta ahora 🙂 Acepto que se ha demostrado la suficiencia de esos nueve poliedros (cinco convexos y cuatro no).

Answer 3

Porque es verdad.

Geometría: Matemáticas: en términos simples, ¿por qué hay exactamente cinco sólidos platónicos?